Problema con integrali definiti

Question

Considera il grafico della funzione f(x)=x^{3}. a. Siano P un punto del grafico di f(x)$ distinto da O e r la retta tangente al grafico in P. Detto A l'altro punto di intersezione di r con il grafico di f(x)$ e detto B l'altro punto di intersezione della retta tangente in A con il grafico di f(x)$, dimostra che l'area della regione compresa tra la retta per A e B e il grafico di f(x)$ è 16 volte l'area della regione compresa tra la retta per A e P e il grafico di f(x)$, indipendentemente dalla scelta del punto P. b. Considera le rette y=m e x=k e le loro intersezioni con il grafico di f(x)$ nel primo quadrante. Determina m e k sapendo che le aree  mathscr {A}_{1} e A_{2} in figura sono entrambe uguali a  frac {243  sqrt [3]{2}}{32}. c. La cubica y=x^{3} e la parabola di equazione y=h x^{2},  operatorname {con} h>0$, si incontrano nel primo quadrante delimitando una regione finita di area A. Le due curve assegnate hanno in comune, oltre all'origine, anche il punto P (nel primo quadrante). Dimostra che l'area delimitata dal segmento OP e dalla parabola ha area $2 .  mathscr {A}.  left [ text { b) } k=3, m= frac {27}{4} right ]    Qualcuno può aiutarmi con la risoluzione del punto a del problema? Grazie [attach]1229[/attach]

LucianoP · Accepted Answer

@mymmii

Risolviamo il punto a) richiesto (mi sembra strano che dal 04/04/2020 nessuno ti abbia risposto, non è così difficile!)

La funzione in studio è y = x^3

Un suo generico punto P ha quindi coordinate: P(α, α^3) con α numero reale qualsiasi essendo la funzione esponenziale definita in ]-inf;+inf[

La sua derivata è: y'=3·x^2 pertanto la funzione sempre crescente e nel suo punto P(α, α^3) la retta ad esso tangente ha coefficiente angolare m=3·α^2

Ricaviamo quindi la retta in P:

y - α^3 = 3·α^2·(x - α)------> y = α^2·(3·x - 2·α)

Che mettiamo a sistema con la funzione:

{y = α^2·(3·x - 2·α)

{y = x^3

procediamo quindi con la sostituzione:

α^2·(3·x - 2·α) = x^3

Risolvendo otteniamo: x = - 2·α ∨ x = α

Quindi equazione di 3° grado con radici con molteplicità 2 (punto da cui siamo partiti) ed una di valore

- 2·α .

Quindi A(- 2·α, -8α^3)

Procediamo nello stesso identico modo e determiniamo la retta tangente in A(- 2·α, -8α^3).

Tale retta avrà coefficiente angolare m=3·(- 2·α)^2 = 12·α^2

Procediamo come sopra

y + 8·α^3 = 12·α^2·(x + 2·α)------->y = 4·α^2·(3·x + 4·α)

La mettiamo a sistema ancora con la funzione:

{ y = 4·α^2·(3·x + 4·α)

{y = x^3

Risolviamo il sistema: x^3 = 4·α^2·(3·x + 4·α)------> x = 4·α ∨ x = - 2·α

(x = - 2·α ha molteplicità 2 ed x = 4·α è l'altra intersezione con la funzione)

Abbiamo quindi una retta

y = α^2·(3·x - 2·α) sotto alla funzione y=x^3 compresa fra P (α, 8·α^3) ed A(- 2·α, -8α^3)

Quindi la differenza:

x^3-α^2·(3·x - 2·α) integrata fra - 2·α ed α

misura l'area della zona di sotto:

∫(x^3 - α^2·(3·x - 2·α)) dx=27·α^4/4

La differenza invece di:

4·α^2·(3·x + 4·α)-x^3 integrata fra - 2·α e 4·α

misura l'area della zona di sopra:

∫(4·α^2·(3·x + 4·α) - x^3)dx =108·α^4

Il rapporto fra queste due aree è indipendente da α :

108·α^4/(27·α^4/4) = 16

LucianoP

(@lucianop)

78370 punti

livello:

Genius II

14313 Risposte
5 7369 2920

06/07/2021 14:51

[Risolto] Problema con integrali definiti

Domande