Problema con i radicali

Probabilmente non dovevano essere uguali ed é il disegno ad essere impreciso.

Ho avuto giorni fa una fitta discussione, su un argomento assai simile a questa tua domanda, di cui le parti che ti potrebbero interessare sono ai link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/88342/
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/88418/
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/88421/
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/88320/
---------------
Al tuo dubbio «Non riesco a capire perché AC, diviso a metà, abbia due valori diversi.» rispondo con un'autocitazione da lì «... risposta pubblicata da @Luix la quale però, avendo scambiato cazzi per lampioni ("Dato che le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari, si tratta di un parallelogramma rettangolo."), ha poi conseguentemente applicato il Teorema dello Pseudo-Scoto.»
Anche tu hai fatto lo stesso scambio di Luix e di conseguenza sei andata nel pallone.
Lo scambio è in «... AC, diviso a metà, ...»: AC non è diviso a metà, ma a più del 60%!
Il pallone consiste nei due GRAVISSIMI ERRORI DA BOCCIATURA subito successivi, sfuggiti a tua insaputa (di certo non eri compos tui mentre li scrivevi):
* «4 e radical 34 sono diversi in teoria» dove è da bocciatura l'aver scritto "in teoria";
* «a me sembrano uguali» dove è da bocciatura il non rammentare (anche per un attimo solo) che in Matematica le opinioni sono abominio.
==============================
Un ragionevole modo d'affrontare l'esercizio 525 senza farsi guidare dalle apparenze, ma solo dai dati, sarebbe stato quello pedissequo e infantile delle scuole elementari: indicazioni, operazioni e via pedalare! Poi si vede che viene fuori.
In questo caso le indicazioni sono di applicare quattro volte il Teorema di Pitagora per determinare le misure di tutti i segmenti ignoti in base a quelle date o già ricavate.
Con i nomi e i valori
* a = |AB|, b = |BC|, c = |CD| = √32 = 4*√2, d = |DA|
* p = |OA| = √34, q = |OB| = 8, r = |OC| = 4, s = |OD|
si scrivono le relazioni pitagoriche
* a^2 = p^2 + q^2 = 34 + 64 = 98 ≡ a = 7*√2
* b^2 = q^2 + r^2 = 64 + 16 = 80 ≡ b = 4*√5
* c^2 = r^2 + s^2 ≡ 32 = 16 + s^2 ≡ s = 4
* d^2 = s^2 + p^2 = 16 + 34 = 50 ≡ d = 5*√2
da cui
diagonale maggiore |BD| = q + s = 12
diagonale minore |AC| = √34 + 4
perimetro a + b + c + d = 7*√2 + 4*√5 + 4*√2 + 5*√2 = 4*(4*√2 + √5) = 4*√(37 + 8*√10)
------------------------------
Dal grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%280%2C-%E2%88%9A34%29%288%2C0%29%280%2C4%29%28-4%2C0%29
la non divisione al 50% appare ben chiara.