[Risolto] problema

Vedi figura allegata.

Determina l'area del triangolo individuato dalle rette di equazioni: 3x-y+2=0, x+2y=4, y=x-4.

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Indichiamo con r, s, t le tre rette e riscriviamole come segue:
r: 3x-y+2=0
s: x+2y-4=0
t: x-y-4=0

Calcoliamo le coordinate del punto A intersezione delle rette r ed s mettendo a sistema le equazioni delle due rette:
{3x-y+2=0
{x +2y-4=0
moltiplichiamo ambo i membri della 1^ equazione per 2 e poi sottraiamo membro a membro:

{6x-2y+4=0
{x +2y-4=0
-----------------
7x // //=0 ==> 7x=0 ==> x=0
sostituiamo la x appena trovata nella 2^ equazione:
0+2y-4=0 ==> 2y=4 ==> y=2 quindi il punto di intersezione ha per coordinate A(0, 2)

Calcoliamo le coordinate del punto B intersezione delle rette s e t mettendo a sistema le equazioni delle due rette:
{x+2y-4=0
{x-y-4=0
moltiplichiamo ambo i membri della 1^ equazione per -1 e poi sottraiamo membro a membro:

{-x-2y+4=0
{ x -y-4=0
-----------------
// -3y //=0 ==> -3y=0 ==> y=0
sostituiamo la y appena trovata nella 2^ equazione:
x-0-4=0 ==> x=4 quindi il punto di intersezione ha per coordinate B(4, 0)

Calcoliamo le coordinate del punto C intersezione delle rette r e t mettendo a sistema le equazioni delle due rette:
{3x-y+2=0
{x-y-4=0
moltiplichiamo ambo i membri della 1^ equazione per -1 e poi sottraiamo membro a membro:

{-3x+y-2=0
{ x -y-4=0
-----------------
-2x // -6=0 ==> -2x=6 ==> x=-3
sostituiamo la x appena trovata nella 2^ equazione:
-3-y-4=0 ==> y=-7 quindi il punto di intersezione ha per coordinate C(-3, -7)

Calcoliamo ora la lunghezza dei segmenti AB, BC, AC:

AB=Sqrt[(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2] = Sqrt[(4-0)^2+(0-2)^2] ≈ 4,4721 cm
BC=Sqrt[(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2] = Sqrt[(-3-4)^2+(-7-0)^2] ≈ 9,8994 cm
AC=Sqrt[(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2] = Sqrt[(-3-0)^2+(-7-2)^2] ≈ 9,4868 cm

Ora applichiamo la formula di Erone per calcolare il perimetro:
Calcoliamo per prima cosa il semiperimetro p:
p=(AB+BC+AB)/2 ≈ 11,9292 cm
Area=Sqrt[p*(p-AB)*(p-BC)*(p-AC)] ≈ 21 cm²

Se il sistema di tre rette è impossibile e quelli di due per volta sono determinati allora esse hanno tre intersezioni distinte che sono i vertici del triangolo individuato.
* (3*x - y + 2 = 0) & (x + 2*y = 4) & (y = x - 4) ≡
≡ (y = 3*x + 2) & (y = 2 - x/2) & (y = x - 4) ≡ impossibile
quindi
* (y = 3*x + 2) & (y = x - 4) ≡ A(- 3, - 7)
* (y = 2 - x/2) & (y = x - 4) ≡ B(4, 0)
* (y = 3*x + 2) & (y = 2 - x/2) ≡ C(0, 2)
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
1) Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
2) Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
3) Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2
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Applicandolo ai vertici
* A(- 3, - 7), B(4, 0), C(0, 2)
si ha
* S(ABC) = 21