[Risolto] Problema

Il numero deve finire con uno 0 per essere divisibile per 10.

Somma delle cifre deve essere divisibile per 9;

x + 1 + 5 + 7 + 1 + 0 = k * 9;

x + 14 = k * 9;

k = 2;

x = 18 - 14 = 4;

N = 415710;

415710 / 90 = 4619.

 

Deve essere divisibile per 36; bisogna che sia divisibile per 4 e per 9.

Per 4:  le ultime due cifre devono dare un numero divisibile per 4. Deve finire per 12, 16.

 = 16; 12; 

x + 1 + 5 + 7 + 1 + 6 = k * 9; 

x + 20 = k * 9 ;

k = 3; k * 9 = 27.

x = 27 - 20 = 7;

N = 715716;

715716 / 36 = 19881.

E' un quadrato perfetto:

radice(715716) = 846.

Affinché un naturale N risulti multiplo di un altro naturale M esso dev'esserlo di ogni divisore di M con la stessa molteplicità.
Poiché per i tre M proposti si hanno le scomposizioni
* 90 = 2*5*3^2 = 9*10; 36 = 4*9; 24 = 3*8
occorrono e bastano pochi criterii di divisibilità.
* per 2^k: le ultime k cifre o 0 o multiplo di 2^k
* per 3: somma delle cifre multiplo di 3
* per 5^k: le ultime k cifre o 0 o multiplo di 5^k
* per 9: somma delle cifre multiplo di 9
* per 10: sia per 2^1 che per 5^1, cioè zero unità.
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RISPOSTE
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A) x1571y multiplo di 90
* per 10: sia per 2^1 che per 5^1, cioè zero unità ≡ y = 0
x15710 multiplo di 9
* 1 + 5 + 7 + 1 + 0 + x = 14 + x = 9*n ≡ x = 9*n - 14 ≡
≡ x in {- 14, - 5, 4, 13, 22, ...} ≡
≡ x = 4
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* N = 415710 = 90*4619
* √N ~= 644.7557677
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B) x1571y multiplo di 36
x1571y multiplo di 9
* 1 + 5 + 7 + 1 + 0 + x + y = 14 + x + y = 9*n ≡ x + y = 9*n - 14 ≡
≡ x + y in {4, 13} ≡
≡ (x, y) in {(1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0), (4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4)}
x1571y multiplo di 4 ≡ 1y multiplo di 4 ≡
≡ y in {2, 6} →
→ (x, y) in {(2, 2), (7, 6)}
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* N = 215712 = 36*5992
* √N ~= 464.448
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* N = 715716 = 36*19881
* √N = 846
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C) x1571y multiplo di 24
x1571y multiplo di 8 ≡ 71y multiplo di 8
* (710 + y)/8 = 710/8 + y/8 = 88 + 6/8 + y/8 ≡ 6 + y = 8*n ≡ y = 8*n - 6 ≡
≡ y in {- 6, 2, 10, ...} ≡
≡ y = 2
x15712 multiplo di 3
* 1 + 5 + 7 + 1 + 2 + x = 16 + x = 3*n ≡ x = 3*n - 16 ≡
≡ x in {- 4, - 1, 2, 5, 8, 11} ≡
≡ x in {2, 5, 8}
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* N = 215712 = 24*8988
* √N ~= 464.4
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* N = 515712 = 24*21488
* √N ~= 718.1
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* N = 815712 = 24*33988
* √N ~= 903.1677585