osserva la figura. Ognuno dei quadrati che la compongono è stato ottenuto congiungendo i punti medi dei lati del quadrato precedente. Se l'area del quadrato più interno misura 4 $\mathrm{cm}^{2}$, quanto misura l'area del quadrato $A B C D ?$ Giustifica la risposta.
2149
punti
Livello 2
L'area di un quadrato vale il quadrato del lato.
A partire dal quadrato numero zero, il più interno di lato L = 2 cm, i lati di quello immediatamente circoscritto hanno la lunghezza della diagonale del precedente; quindi la successione {a(k)} delle lunghezze dei lati è descritta da
* (a(0) = L) & (a(k + 1) = (√2)*a(k))
cioè
* a(k) = ((√2)^k)*L
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Il quadrato ABCD ha il lato di misura
* a(5) = ((√2)^5)*L = 4*(√2)*L
e l'area
* (a(5))^2 = (4*(√2)*L)^2 = 32*L^2
Con
* L^2 = 4 cm^2
si ha
* (a(5))^2 = 32*4 cm^2 = 128 cm^2
51576
punti
Genius I
Grazie
rapporto aree tra interno ed esterno è pari a 1^2/(0,5*√2)^2 = 2
i passaggi sono 5, per cui 4*2^5 = 128
96644
punti
Genius II
