Problema

Chiamato n il numero iniziale dei partecipanti ed S la spesa complessiva , vale la relazione : 

S = n*x  (1)

...x essendo la spesa pro capite iniziale

Se, a pari S, il nuovo numero dei partecipanti n' diventa n-2 e la nuova spesa pro capite  diventa x' = x+5 , allora :

S = n'*x' = (n-2)(x+5)  (2)

uguagliando le due espressioni di S 

n*x = (n-2)(x+5) 

n*x = n*x+5n-2x-10

2x+10 = 5n

n = (2x+10) / 5

che sostituito nella (1) porta a : 

87,50 = ((2x+10) / 5)*x

87,50*5 = 2x^2+10x 

437,50-10x-2x^2 = 0

x = (10±√10^2+437,50*2*4)/-4  = 12,50 € (x > 0 implica il segno - della radice)

n = S/x = 87,50/12,50 = 7,0 partecipanti iniziali 

n' = n-2 = 7-2 = 5

87,50/5 = 17,50 € ....e pari a 12,50+5 come deve essere !!!

Difficile generalizzare in modo utile e comprensibile.

L'idea è

1) riuscire a scrivere il testo sotto forma di equazione e per farlo

2) scegliere una quantità comoda da usare come x e provare a scrivere tutte le altre quantità con dentro la x (ad esempio 2x o 7-x o 3x+5)

3) un'altra cosa utile è "tradurre" un pezzettino alla volta

Ad esempio

Qui scegliamo come x il numero di persone che all'inizio volevano partecipare al regalo

Dopo il ripensamento di due persone diventano x-2

Quindi all'inizio una persona doveva mettere 87,5/x euro per il regalo

Dopo invece

87,5/(x-2)

La cifra più grande tra le due è la seconda (diminuendo il numero di persone aumenta la quota)

Quindi la differenza tra la cifra più grande e la più piccola è 5 e questa cosa si può scrivere

87,5/(x-2) - 87,5/x = 5

Poi si risolve normalmente come equazione fratta per trovare la x

Sia n il numero di persone richiesto.

I partecipanti effettivi saranno n - 2

con n in N e n > 2

La quota di ciascuno é quindi 87.50/(n - 2) = 87.50/n + 5

moltiplicando per n(n - 2)

87.50 n = 87.50 (n - 2) + 5n (n - 2)

0 = - 175 + 5n^2 - 10 n

semplificando e riordinando

n^2 - 2n - 35 = 0

di cui si può accettare solo la radice positiva sperando che sia intera e maggiore di 2...

Due numeri che hanno per somma - 2 e prodotto -35 sono -7 e 5 da cui

(n - 7)(n + 5) = 0 per cui essendo n = - 5 inaccettabile

risulta infine n = 7.

Prima di parlare del problemino di Algebra ti fornisco un aiuto non richiesto su un problema ben più importante (a mio parere di insegnante esperto) del quale forse non ti sei ancora reso conto, ma che scolasticamente può provocarti più sorpresacce dell'Algebra: l'uso corretto e PRECISO dell'italiano.
1) Usi il complemento di specificazione e non premetti la preposisione: FNTEPT.
2) Usi il condizionale e non nomini la condizione: FNTEPT.
3) Usi un'allusione e non nomini la cosa cui alludi: FNTEPT.
4) Usi un sostantivo e non ne conosci la sostanza: FNTEPT.
Si tratta di errori gravi, e non solo di grammatica.
FNTEPT ≡ "fallo nel tema e prendi tre".
Rifletti su cosa hai scritto e come l'hai scritto.
"avrei bisogno aiuto" invece di "avrei bisogno d'aiuto" e senza dire in quali casi ne avresti bisogno.
"vorrei chiedervi se" senza dire in quali casi vorresti chiederci.
"scusate il ritardo" senza dire a quale ritardo alludi.
"questa tipologia di problemi": già è grasso che cola capire il TIPO di problemi esaminando il testo di UN SOLO problema; capirne la TIPOLOGIA (cioè a quale categoria di tipi appartenga il TIPO) è un sogno irrealizzabile.
TI CONSIGLIO CALDAMENTE di tornare a far visita al tuo Maestro di quinta eelementare e di fare una lunga chiacchierata su quest'argomento (magari mostrandogli queste mie obiezioni): se lui ha un'oretta di pazienza tu eviti grossi rischi.
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I PASSAGGI E IL TIPO
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A) Assegnare un nome simbolico ad ogni entità e, se ne è dato il valore, associarlo al nome; associargli anche eventuali relazioni, espresse in tali simboli, con altre entità già nominate.
* T = 87,50 = 175/2 € = Totale da raccogliere
* A = incognita = Aderenti originali alla colletta
* q = T/A = Quota originale
* r = 2 = Ritirati dagli aderenti originali
* a = A - r = Aderenti restanti dopo i ritiri
* d = 5 € = Differenza da aggiungere alla quota originale
* Q = q + d = Quota dopo i ritiri
* A*q = a*Q = T = legge di conservazione del totale
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B) Costruire, raccogliendo le relazioni simboliche scritte al passo A, il modello matematico del problema e ridurlo al minimo in funzione delle variabili essenziali (in questo caso: T, A, r).
* (q = T/A) & (a = A - r) & (Q = q + d) & (A*q = a*Q) ≡
≡ (a = A - r) & (Q = T/A + d) & (A*T/A = (A - r)*(T/A + d)) ≡
≡ d = (r/(A*(A - r)))*T = (r/(A*a))*T
VALE A DIRE CHE
la differenza da integrare sta al totale come il numero dei ritiri sta al prodotto degli aderenti prima e dopo il ritiro.
ATTENZIONE
Solo riuscire a scrivere l'interpretazione del modello matematico ridotto autorizza a dire "Ho capito il tipo di problema: è di quelli che si risolvono con una proporzione!", e solo l'ordinata e pignola costruzione consente di ottenere un modello di semplice interpretazione.
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C) Manipolare il modello ridotto ottenuto al passo B, con i valori raccolti al passo A e con i significati del problema in esame, fino a isolare i risultati richiesti.
* T = 175/2 €
* r = 2
* d = 5 €
* d = (r/(A*(A - r)))*T ≡
≡ 5 = (2/(A*(A - 2)))*175/2 ≡
≡ (2/(A*(A - 2)))*175/2 - 5 = 0 ≡
≡ - 5*(A - 7)*(A + 5)/((A - 2)*A) = 0
e, dal momento che i significati del problema escludono che A possa essere uno di {- 5, 0, 2}, si ottiene la sola radice accettabile
* A = 7