Problema

 

 

DATI

d = 12 cm        (diametro)                        

V= 720 π cm3 (Volume del cilindro)

a= 3/4 H        (Apotema della piramide)

s= 3*r           (spigolo di base della piramide)

AL =?             (area laterale del cilindro)

A = ?              (Area totale del cilindro)

St = ?             (Area totale della piramide)

V = ?              (Volume della piramide)

 

Svolgimento

CILINDRO

Il raggio è:        r= d/2= 6 cm

Dalla formula del volume mi ricavo l'altezza H del cilindro:

V = π r^2 *H

H= V / (π r^2)= (720 π) / (36 π) = 20 cm

AL = 2 π r * H = 2 π * 6 * 20 = 240 π cm2 

A= 2 Ab + AL= 2 π  r^2 + AL = 2 π  *36 +240 π = 312 π cm2

PIRAMIDE

lo spigolo di base è:

s  = 3 * r = 3 * 6 = 18 cm 

L'apotema della piramide è pari a:

a = 3/4 H  = (3/4) * 20  = 15 cm 

Mi ricavo l'altezza della piramide con il teorema di Pitagora:

h= √ (a^2  - (s/2)^2) = √  (15^2  -  9^2) = √ 144 = 12 cm

L'area totale della piramide sarà data da:

St= Sb + SL

dove Sb =superficie di base = s^2 = 18^2 = 324 cm2

        SL= superficie laterale =  (P * a)/2 =(4 * s * a)/2= (72 * 15)/2= 540 cm2

Da cui:

St= Sb + SL = 324   +  540 = 834 cm2

Il volume:

V = (Sb * h )/ 3 = ( 324 * 12) / 3 = 1296 cm3

Conoscendo il Volume del cilindro, calcoliamo l'altezza con la formula inversa = Area/r^2=  720÷36= 20 cm 

apotema( piramide)= 3/4*20= 15 cm e spigolo di base= 3*6= 18 cm

superficie laterale ( cilindro)=  2pigreco*6*20= 240pigreco cm quadrati 

superficie di base= 36 pigreco

superficie totale ( cilindro)=  240 +( 36*2)= 312 pigreco cm quadrati 

superficie laterale ( piramide) = perimetro di base *apotema/2=  72*15/2= 540 cm quadrati      area di base= 324 cm quadrati 

superficie totale ( piramide)= 540 + 324= 864 cm quadrati 

calcoliamo h della piramide con Pitagora = radice quadrata 15^2 - 9^2=  144=  12 cm 

volume ( piramide)= 324*12/3=  1296 cm cubici