Probabilità

Question

[attach]104274[/attach] Dimostrare e argomentare.

Moe · Answer

Per questioni di spazio, ti mostrerò i miei ragionamenti applicati solo a un sottoinsieme degli esercizi.

Per prima cosa ho modellato lo stato di un pantalone mediante un vettore $(x_{1},x_{2},x_{3})$, dove $x_{i}$ è 1 se $x_ {i}$ presenta il difetto, oppure 0 se non lo presenta. Per convenzione, ho stabilito che la prima componente rappresenti il difetto $A$, la seconda il difetto $B$ e la terza il difetto $C$.

$(a.1)$ L'evento "Non presenta il difetto $A$" può essere descritto nel seguente modo: $E = \left\{ (0,n,m) \space | \space n,m \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}$. Possiamo calcolare la sua probabilità considerando la seguente relazione $\mathbb{P}(E) = 1-\mathbb{P}(E^{c})$. Per ipotesi sappiamo che $\mathbb{P}(E^{c}) = 0,05$, dunque $\mathbb{P}(E) = 0,95$.

$(a.2)$ L'evento "presenta i difetti $A$ e $B$, ma non $C$" può essere invece scritto esplicitamente come segue $\left\{ (1,1,0) \right\}$. Che è proprio il risultato della seguente intersezione di eventi: $E = \left\{ (1,n,m) \space | \space n,m \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}$, $F = \left\{ (n,1,m) \space | \space n,m \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}$ e $G = \left\{ (n,m,0) \space | \space n,m \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}$. Poiché il testo garantisce l'indipendenza dei tre difetti, calcolare $\mathbb{P}(E\cap F\cap G)$ equivale a calcolare $\mathbb{P}(E) \mathbb{P}(F)\mathbb{P}(G)$. Le singole probabilità degli eventi $E,F$ e $G$ discendono direttamente dalla traccia.

$(b.5)$ La risoluzione di questo esercizio può essere ricondotta al modello calcolo di una variabile aleatoria Binomiale. Siccome il numero di pantaloni estratti che presentano il difetto $C$ segue una distribuzione binomiale di parametri $(n,p)$, la probabilità che esattamente $3$ pantaloni estratti presentino tale difetto è data da

$\displaystyle \binom{5}{3}p^{3}(1-p)^{2}$

dove $p = 0,02$ è la probabilità (nota dalla traccia) che un singolo pantalone estratto presenti il difetto $C$.

$(c)$ Seguendo le impostazioni del punto $(a.2)$, la probabilità dell'evento "un pantalone non presenta alcuno dei tre difetti" è data da $\mathbb{P}(E^{c})\mathbb{P}(F^{c})\mathbb{P}(G)$ e denotiamola con $p$. Affinché un numero $n$ di pantaloni abbia probabilità maggiore di $1/2$ di non presentare nessuno dei tre difetti, deve valere

$\displaystyle \binom{n}{n}p^{n}\left( 1-p \right)^{n-n} \gt 1/2$

Con un po' di conti, la disuguaglianza precedente si riduce a

$p^{n} \gt 1/2$

che è soddisfatta se

$n < \log_{p}(1/2)$.

Moe

(@moe)

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09/04/2026 19:21

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