Prisma retto

@luigi2

Il piano risulta quindi perpendicolare alle basi del prisma triangolare dato e divide quest'ultimo in due prisma aventi altezza uguale e basi rispettivamente un triangolo equilatero e un trapezio isoscele. 

Quindi:

 

CQ=CP=  radice (2)

CT= radice (6)/2

TH= radice (3) - radice (6)/2

 

Ciao, di nuovo.

Il piano deve essere verticale quindi diretto perpendicolarmente al piano delle basi triangolari.

In figura allegata, l'asse delle z viene verso chi guarda. Se i due prismi vengono generati nel modo detto, 

basterà determinare come dividere in due parti uguali la superficie della faccia triangolare:

a tal fine basterà individuare il piano secante il prisma dalla coordinata y.

Quindi: y = k è tale piano con 0 < k < √3

Α = 1/2·2·(√3/2·2)-----> Α = √3 ( cioè: Α = 1.732 circa)

Quindi i due prismi generati in questo modo avranno una base trapezoidale (isoscele) ed uno triangolare (equilatero): se devono essere equivalenti, deve verificarsi che le due aree siano uguali.

Se con d si indica PQ:

d = 2 : y = 0 

d = 0 : y = √3

La variazione è lineare e quindi del tipo:

d = 2 - α·y------> 0 = 2 - α·√3------> α = 2·√3/3

quindi: d = 2 - 2·√3/3·y

l'area della sezione trapezoidale: a = 1/2·(2 + 2 - 2·√3/3·y)·y---> a = √3·y·(2·√3 - y)/3

deve quindi essere: a = A/2

√3·y·(2·√3 - y)/3 = √3/2

risolvendo si ottiene: y = √3 - √6/2 ∨ y = √6/2 + √3

(y = 0.5073059361 ∨ y = 2.956795678)

quindi il piano è definito da:

y = √3 - √6/2 (la seconda si scarta)

 

 

 

Un prisma retto HA PER BASE UN TRIANGOLO EQUILATERO ABC DI LATO 2 cm E PER ALTEZZAUN SEGMENTO Lungo 5 cm

UN PIANO PARALLELO ALLA FACCIA DI LATO AB TAGLIA IL TRIANGOLO DI BASE LUNGO UN SEGMENTO PQ

DETERMINA COME DEVE ESSERE CONDOTTO IL PIANO IN MODO CHE I DUE PRISMI IN CUI RIMANE DIVISO QUELLO DATO SIANO EQUIVALENTI

Il  problema si riduce a determinare quanto vale HH' per far si che l'area del triangolo PQC sia congruente con quella del trapezio ABQP

AH = 2*√3 / 2 = √3 cm 

se chiamiamo con a il lato AB, con b il lato PQ  , con h l'altezza HH' e con 1 l'altezza CH possiamo scrivere :

a/1 = b/(1-h)

(a+b)*h = b*(1-h)

(a+a(1-h))*h = a*(1-h)(1-h)

ah+ah-ah^2 = a(1+h^2-2h)

2ah-ah^2 = a+ah^2-2ah 

a+2ah^2-4ah = 0

h = (4a±√16a^2-8a^2)/4a = (2-√2)/2 in per unit 

h = ((2-√2)/2)*√3 cm ( 0,507306..)

b = 2*(√3-0,507306) = 1,414214 cm 

Atra = (a+b)*h = 1,73205..

Atri = b*(√3-h) = 1,73205..

Atr+Atri = 3,464102...( ho sommato le doppie aree)

doppia area ABC = 2√3 = 3,464102... direi che ci siamo