Dati $A(1 ; 1)$ e $B\left(\frac{1}{2} ; \frac{3}{2}\right)$, individua un punto $P$ :
a. sulla retta $y=x$, tale che l'area del triangolo $A B P$ sia $5 ; P_1(-9 ; 9), P_2(11 ; 11)$
b. sulla retta $y=-x$, tale che l'area del triangolo $A B P$ sia $\frac{1}{2}$; qualunque punto appartenente a $y=-x$
c. sulla retta $y=-x$, tale che l'area del triangolo $A B P$ sia 1, nessun punto
29
punti
Livello 0
Sappiamo che AB = rad((1/2 - 1)^2 + (3/2-1)^2) = rad(1/4 + 1/4) = rad(2/4) =
= rad(2)/2
e che mAB = (3/2-1)/(1/2-1) = -1
per cui l'equazione di AB é
y - 1 = -(x - 1)
y = -x + 2
x + y - 2 = 0
d(P,AB) = h = 2S/AB = 2S/(rad(2)/2) = 2 S rad(2)
d(P,AB) = |xP + yP - 2|/rad(1+1)
per cui uguagliando si trova la risolvente
|xP + yP - 2| = 4S
xP + yP = 2 +- 4S
Sostituendo nei vari casi
a) xP = x, yP = x, S = 5
2x = 2 +- 20
x = 1 +- 10 = -9 V 11
P1 = (-9, -9)
P2 = (11,11)
b) xP = x, yP = -x, S = 1/2
x - x = 2 +- 4*1/2
0 = 2 +- 2 = 4 V 0
sempre verificata nella forma 0 = 0
qualsiasi punto di quella retta é idoneo
c) xP = x, yP = -x, S = 1
x - x = 2 +- 4*1
0 = -2 V 6
nessuna soluzione.
Questo accade perché
le rette y = -x e x + y + 2 sono parallele
e la loro distanza che é l'altezza del triangolo é
|2 -0|/rad(1+1) = rad(2)
L'area del triangolo, se P si trova su y = -x, sarà necessariamente
S = 1/2 * rad(2)/2 * rad(2) = 1/2
e questo spiega i risultati trovati in b) e c).
58342
punti
Livello 7
