Potreste aiutarmi a risolvere questo problema con le equazioni di secondo grado? Grazie

Ho rappresentato la soluzione in scala dopo aver risolto il problema, quindi guarda il disegno per capire meglio il procedimento.

$\overline{AC}$ è il segmento perpendicolare alla semiretta passante per $\overline{OM}$, mentre $\overline{OC}$ è la base del triangolo rettangolo $AOC$, il triangolo rettangolo $ODB$ è simile a $AOD$ perché rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele, inoltre i punti $A$ e $B$ giacciono sulla stessa retta, quindi gli angoli sono congruenti, allora i triangoli sono simili. 

Nota che nel triangolo rettangolo $ACM$, $\overline{AM}$ è l'ipotenusa, mentre $\overline{CM}$ e $\overline{AC}$ sono i cateti (analogamente nel secondo triangolo rettangolo $BDM$ i cateti sono $\overline{BD},\ \overline{DM}$ e l'ipotenusa è $\overline{BM}$).

In questi triangoli vale il teorema di Pitagora, quindi:

$\overline{BD}^2+\overline{DM}^2=\overline{BM}^2$

$\overline{AC}^2+\overline{CM}^2=\overline{AM}^2$

Useremo queste relazioni in seguito per risolvere il problema.

Il triangolo $AOC$ è la metà di un triangolo equilatero di lato $\overline{OA}$, perché l'angolo al vertice $A$ è esattamente $30^{\circ}$ la metà di un angolo di un triangolo equilatero (sappiamo che sia effettivamente di $30^{\circ}$ perché l'angolo in rosa è retto per costruzione, mentre il rosso è dato $60^{\circ}$). A questo punto possiamo calcolare $\overline{AC}$ con il teorema di Pitagora:

$\overline{AC} = \sqrt{\overline{OA}^2-\overline{OC}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Applichiamo la stessa logica per calcolare $\overline{BD}$:
$\overline{BD}= \sqrt{\overline{OB}^2-\overline{OD}^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.

Adesso nota come $\overline{DM}=\overline{OM}-\overline{OD}$, mentre $\overline{CM}=\overline{OM}-\overline{OC}$.

Sostituiamo nelle equazioni precedenti i valori noti:

$3+(\overline{OM}-1)^2=\overline{BM}^2$
$\frac{3}{4}+(\overline{OM}-\frac{1}{2})^2=\overline{AM}^2$

Sappiamo che $\overline{AM}^2+\overline{BM}^2=7$ per costruzione, allora:

$3+(\overline{OM}-1)^2+\frac{3}{4}+(\overline{OM}-\frac{1}{2})^2=7$

$3+\frac{3}{4}+\overline{OM}^2-2\overline{OM} +1 + \overline{OM}^2-\overline{OM}+\frac{1}{4}=7$

$2\overline{OM}^2-3\overline{OM}-2=0$

$\overline{OM}=\frac{3 \pm \sqrt{3^2+4 \cdot 3 \cdot 2}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Naturalmente scartiamo la soluzione $\overline{OM}=-\frac{1}{2}$ categoricamente dato che una lunghezza non può essere negativa, allora non resta altro che $\overline{OM} = \frac{3+5}{4}=\frac{8}{4}=2$.