In un triangolo rettangolo di ipotenusa $25 \mathrm{~cm}$ le proiezioni dei suoi cateti sull'ipotenusa son una i $\frac{3}{20}$ e una i $\frac{4}{15}$ del perimetro. Calcola la lunghezza dei cateti e l'area del triangolo.
In un triangolo rettangolo di ipotenusa $25 \mathrm{~cm}$ le proiezioni dei suoi cateti sull'ipotenusa son una i $\frac{3}{20}$ e una i $\frac{4}{15}$ del perimetro. Calcola la lunghezza dei cateti e l'area del triangolo.
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Ciao
Chiamo x ed y i cateti del triangolo rettangolo
Il perimetro è dato dalla somma: x + y + 25 = 2·p
Le proiezioni dei cateti forniscono la misura dell'ipotenusa
(x + y + 25)·3/20 + (x + y + 25)·4/15 = 25
semplifichiamo
5·(x + y + 25) = 300-----> x + y + 25 = 60
Quindi si perviene ad un sistema simmetrico (ossia i valori di x e di y possono scambiarsi reciprocamente):
{x + y = 35
{x^2 + y^2 = 25^2 (Teorema di Pitagora)
Risolviamo per sostituzione:
x = 35 - y
(35 - y)^2 + y^2 = 25^2
2·y^2 - 70·y + 600 = 0
y^2 - 35·y + 300 = 0------>y = 20 ∨ y = 15
quindi: x = 35 - 20---->x = 15 cm
x = 35 - 15-------> x = 20 cm
Quindi i due cateti valgono 15 cm, 20 cm e l'ipotenusa che è data 25 cm
N.B. 15,20,25 è una terna pitagorica derivata dalla fondamentale 3,4,5
L'area è:1/2·20·15 = 150 cm^2
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In un triangolo rettangolo di ipotenusa i = 25 cm le proiezioni dei suoi cateti sull'ipotenusa son l'una i 3/20 e l'altra i 4/15 del perimetro 2p . Calcola la lunghezza dei cateti c e C e l'area A del triangolo.
la stessa proporzione vale per l'ipotenusa
3/20+4/15 = (9+16)/60
AH e BH stanno tra loro in proporzione come 9 e 16, pertanto :
AH = 25*9/25 = 9,0 cm
BH = 25*16/25 = 16 cm
CH = √16*9 = √144 = 12 (Euclide dixit)
area A = i*h/2 = 25*6 = 150 cm^2
c = 3√3^2+4^2 = 3*5 = 15 cm
C = 4√3^2+4^2 = 4*5 = 20 cm
perimetro 2p = i+C+c = 25+20+15 = 60 cm
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Genius II
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