Buonasera a tutti, ho provato a svolgere il seguente esercizio, ma non so come proseguire e se sono sulla giusta strada.
Mi riferisco al punto 2 dell’esercizio, per la parte del determinare un potenziale. Ho già verificato essere un campo conservativo.
Allego la foto dell’esercizio e il mio svolgimento. Ho inserito dei punti interrogativi per i miei dubbi.
grazie in anticipo chi risponderà:)
382
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Livello 2
usualmente si pone per def{soprattutto in fisica}
gradU = - F
quindi:
posto P(x,y,z) {punto di arrivo} e A(0,0,a) {punto di partenza}
la ddp Upa tra P e A vale:
Up - Ua = intg(A,P) dU = - intg[(0,0,a),(x,0,a)] 2xdx/a - intg[(x,0,a),(x,y,a)]2ydy/a +intg[(x,y,a),(x,y,z)](x²+y²)dz/z² = -x²/a -y²/a +[-(x²+y²)/z - [-(x²+y²)]/a] = -(x²+y²)/z
quindi:
Up = U(P) = U(x,y,z)= -(x²+y²)/z + Ua
....................
seguendo il tuo svolgimento si ha:
a verifica del tuo percorso:
U = x²/z + f + costx
∂U/∂z = -x² /z² + ∂f/∂z = - (x²+y²)/z² ---> ∂f/∂z = - y²/z²
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Uab = Ua - Ub =- (Ub - Ua) = -Uba = - intg(da A a B) dU = intg(da B a A) dU = intg(da A a B) F scalar ds = Lab
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7583
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Livello 5
Quando le componenti sono tre
conviene calcolare il potenziale come integrale di linea sulla terna di segmenti paralleli
agli assi, se hai già verificato che é conservativo.
Puoi integrare da (0,0,1) a (x,0,1) lungo x,
da (x,0,1) a (x,y,1) lungo y e da (x,y,1) a (x,y,z)
lungo z. Usando la parametrizzazione standard, risulta quindi
U(x,y,z) = S_L_[(0,0,1);(x,y,z)] F * dr =
= S_(0,x) 2t/z dt + S_(0,y) 2t/z dt - S_(1,z) (x^2+y^2)/t^2 dt =
= ... = ( x^2 + y^2)/z + C
58350
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Livello 7
Sul segmento indicato risulta z = 1 per cui il primo integrale esce x^2, il secondo y^2
e il terzo é [ x^2 + y^2 /(t) ]_(1,z) = (x^2 + y^2)/ z - (x^2 + y^2).
La somma dei tre termini sarà allora (x^2 + y^2)/z con l'eventuale aggiunta del segno
meno se riusciamo a chiarire la convenzione tra potenziale ed energia potenziale.
hai ragione ...
wolfram{ed io distratto!} non sapeva che z=1 nei primi due !
quindi ...
US_(0,x) 2t/1dt + S_(0,y) 2t/1 dt - S_(1,z) (x^2+y^2)/t^2 dt =
= ... = ( x^2 + y^2)/z + C
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però (a parte il "meno")
posto P(x,y,z) e A(0,0,1)
S_L_[(0,0,1);(x,y,z)] F * dr = S_L_[(0,0,1);(x,y,z)] dU = (Up -Ua) = ( x^2 + y^2)/z
... semmai il tuo "C" = Ua
