Sia AOB un quadrante di un cerchio di centro O e raggio r. Determina un punto P, sull'arco AB, in modo che risulti PA^2+PB^2=6/5r^2. Grazie in anticipo.
Sia AOB un quadrante di un cerchio di centro O e raggio r. Determina un punto P, sull'arco AB, in modo che risulti PA^2+PB^2=6/5r^2. Grazie in anticipo.
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Livello 0
Dal momento che
* |PA|^2 + |PB|^2 = (6/5)*r^2 ≡
≡ (|PA|/r)^2 + (|PB|/r)^2 = 6/5
si può semplificare il problema cercando sulla circonferenza unitaria due corde consecutive che insieme coprano un quarto di giro soddisfacendo al vincolo.
Se PA è vista sotto l'angolo al centro "2*x" e PB sotto "π/2 - 2*x" si ha
* |PA|/r = 2*sin(x)
* |PB|/r = 2*sin(π/4 - x)
* (|PA|/r)^2 + (|PB|/r)^2 = 6/5 ≡
≡ (2*sin(x))^2 + (2*sin(π/4 - x))^2 = 6/5
* ((2*sin(x))^2 + (2*sin(π/4 - x))^2 - 6/5 = 0) & (0 < 2*x < π/2) ≡
≡ (sin(2*x) + cos(2*x) = 7/5) & (0 < x < π/4) ≡
≡ (sin(2*x + π/4) = 7/(5*√2)) & (0 < x < π/4) ≡
≡ x = (arcsin(7/(5*√2)) - π/4)/2 =
= (arctg(7) - π/4)/2 ~= 0.32175 rad ~= 18° 26' 5.8''
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NOTA
Il teorema di Pitagora è nella relazione sin^2(2*x) + cos^2(2*x) = 1.
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Genius I
@exprof grazie
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Livello 2
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Livello 2
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Livello 2
2 volte teorema di Pitagora ai due triangoli figura allegata con r=1
per i segmenti AP e PB. Risolvi e poi moltiplica per r
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Genius III