[Risolto] Piramide nella sfera

In una circonferenza di centro O è inscritto il triangolo acutangolo ABC il cui angolo in A misura 30° gradi ed i cui lati AB ed AC misurano10·√7 cm e 6·√2 cm.

Preso sulla perpendicolare in O al piano del triangolo il punto V in modo che AV sia uguale 10·√2 cm.  Determinare il volume della piramide VABC ED il raggio R della sfera ad esso circoscritta.

Deve uscire 70·√3 cm^3 ed 50 cm

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Con il teorema di Carnot ti calcoli il lato incognito del triangolo inscritto nella circonferenza di raggio r. 

BC = √((10·√7)^2 + (6·√21)^2 - 2·(10·√7)·(6·√21)·COS(30°)) = 14 cm = c
Ti calcoli l’area A del triangolo ABC.

Α = 10·√7·(6·√21)·SIN(30°)/2-------->     Α = 105·√3 cm^2

Il raggio della circonferenza circoscritta vale:  

r = a*b*c/(4A)-----------> (10·√7)·(6·√21)·14/(4·105·√3) = 14 cm

Noto lo spigolo AV= 10·√2  cm ed r =14 con Pitagora ti determini OV =h altezza della Piramide:

h= √((10·√2)^2 - 14^2) = 2 cm

Il volume della sfera con :   V=1/3*A*h =1/3·105·√3·2 = 70·√3 cm^3

Per R considera l’intersezione della sfera con un piano verticale passante per AV. Con riferimento a tale intersezione hai una circonferenza di raggio R. Per essa vale il 2° teorema di Euclide, quindi puoi scrivere:

14^2 = 2·y--------->  con y=D-2 D diametro sfera----> y = 98 cm

D=98+2=100 cm----> R =50 cm

Con il teorema di Carnot ti calcoli il lato incognito del triangolo inscritto nella circonferenza di raggio r. 
Ti calcoli l’area A del triangolo ABC. Il raggio della circonferenza circoscritta vale:   r = a*b*c/(4A)

Noto lo spigolo AV ed r con Pitagora ti determini OV =h altezza della Piramide

 Il volume di essa poi con V=1/3*A*h

Il volume della sfera è 4/3*pi*R^3
Per R ci devi riflettere un po’

 

 

i numeri in figura sono riferiti ad altro esempio. Quindi prendi spunto dalla figura allegata e poi facci sapere i tuoi risultati. Buone feste.

In una circonferenza di centro O e' inscritto il triangolo acutangolo ABC il cui angolo in A misura 30 gradi ed i cui lati AB ed AC misurano 10√7 cm e 6√21
Preso sulla perpendicolare in O al piano del triangolo il punto V in modo che AV sia uguale 10√2cm  determinare il volume della piramide VABC ED il raggio della sfera ad esso circoscritta 

BC = √AB^2+AC^2-2*AB*BC*cos 30° 

BC = √100*7+36*21-2*60*√147*√3/2 

BC = √700+756-60*21 

BC = √196 = 14,00 cm 

prossimo passo è trovare il raggio AH del cerchio circoscritto  al triangolo; la misura del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il prodotto delle misure dei lati pml e il quadruplo dell'area A del triangolo stesso.

L'area A si trova facendo :

A = CK*AB/2 = AC*sin 30°*AB/2 = 3√7*3*5√7 = 15*7*√3 = 105√3 cm^2

prodotto pml delle misure dei lati :

pml = a*b*c = 26,458*27,495*14,00 =  10.185 cm^2

AH =  10.185 /420√3  = 14,00 cm 

trovata AH e nota AV  si trova, con "Pitagora", l'altezza HV della piramide

HV = √200-196 = 2,00 cm 

il cui volume Vp è pari a A*HV/3 = 105√3 * 2/3  = 70√3 cm^3

determinazione raggio della sfera OA 

OA^2 = AH^2+OH^2 = AH^2+(OA-VH)^2

OA^2 =  AH^2+OA^2+VH^2 -2*OA*VH

2*OA*VH = AH^2+VH^2

OA = (AH^2+VH^2)/2VH

raggio sfera OA = (14^2+2^2)/(2*2)  = 200/4 = 50 ,00 cm 

 

trovato il raggio OA della sfera , con la formula 0,52360*d^3 se ne trova il volume Vs (4π/3*r^3 = 4π/(3*8)*d^3 = π/6*d^3 = 0,52360d^3, 0,52360 essendo un'ottima approssimazione di π/6) 

Vs = 0,52360*100^3 = 5,236*10^5 cm^3

 

 

 

 

Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2; volume, cm^3.
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TRIGONOMETRIA
* c = |AB| = 10*√7 ~= 26.4575
* b = |AC| = 6*√21 ~= 27.495
* α = 30° = π/6
* cos(α) = √3/2
* a = |BC| = √(b^2 + c^2 - 2*a*b*cos(α)) = 14
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ANALITICA NEL PIANO
* A(0, 0), C(6*√21, 0), P(x, y)
* (x^2 + y^2 = (10*√7)^2) & ((x - 6*√21)^2 + y^2 = 14^2) ≡ B(5*√21, 5*√7)
* area S(ABC) = (1/2)*|0*(5*√7 - 0) - (5*√21)*(0 - 0) + (6*√21)*(0 - 5*√7)| = 105*√3
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = R^2 →
→ circumcentro O(3*√21, √7)
→ circumraggio R = 14
* circumcerchio Γ ≡ (x - 3*√21)^2 + (y - √7)^2 = 14^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - (6*√21)*x - (2*√7)*y = 0
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ANALITICA NELLO SPAZIO
* V(3*√21, √7, h)
* |AV| = √(h^2 + 196) = 10*√2 ≡ h = 2
* V(3*√21, √7, 2)
* volume ABCV = h*S(ABC)/3 = 2*105*√3/3 = 70*√3
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = |PV|^2 = R^2 ≡
≡ x^2 + y^2 + z^2 = (x - 5*√21)^2 + (y - 5*√7)^2 + z^2 = (x - 6*√21)^2 + y^2 + z^2 = (x - 3*√21)^2 + (y - √7)^2 + (z - 2)^2 = R^2 →
→ circumcentro O(3*√21, √7, - 48)
→ circumraggio R = 50
* circumsfera Γ ≡ (x - 3*√21)^2 + (y - √7)^2 + (z + 48)^2 = 50^2 ≡
≡ x^2 + y^2 + z^2 - (6*√21)*x - (2*√7)*y + 96*z = 0

... figura in prospettiva e non in scala!

AB = 10sqrt7 = 26,4575... AC = 6sqrt21 =~27,495454...

 

BC è uguale al raggio r  della circonferenza perchè l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza di 30°{l'angolo al centro di 60° implica che l'isoscele OBC sia anche equilatero}, poi per Carnot si ha:

BC = r = sqrt(AB²+ AC² -2AB*AC*cos30°) = sqrt(700+756 - 2*10*6*sqrt(147)sqrt3/2 ) = 14 cm

h della piramide, dalla traccia,  è ortogonale alla base ABC della piramide {ABC è inscritto nella circonferenza , per il cui centro passa il raggio della sfera di misura  rsf che contiene il segmento di misura h e termina in V} e quindi per Pitagora:

h = sqrt(AV² - r²) = sqrt(200-196) = 2 cm

per il 1° di Euclide {AV medio prop. tra OV e il diametro 2*rsf}relativo al triangolo rettangolo in A, VAP:

AV² = OV*(2*rsf) ---> rsf = 200/(2*2) = 50cm ---> OK!

il semiperimetro di ABC  è     p = (10sqrt7 +6sqrt21 + 14)/2 

L'area S di ABC, per Erone , vale:

 

S = sqrt((10sqrt7 +6sqrt21 + 14 )( (10sqrt7 +6sqrt21 + 14)/2 -10sqrt7)( (10sqrt7 +6sqrt21 + 14)/2 -6sqrt21 )( (10sqrt7 +6sqrt21 + 14)/2-14 )/2) =105 sqrt(3)

il volume della piramide vale:

... metto il link {... solo per  verificare che ancora non va... }

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14+%29%28+%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14%29%2F2+-10sqrt7%29%28+%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14%29%2F2+-6sqrt21+%29%28+%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14%29%2F2-14+%29%2F2%29

... al solito non resta che metterlo monco ... aggiungerai manualmente "https"

://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14+%29%28+%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14%29%2F2+-10sqrt7%29%28+%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14%29%2F2+-6sqrt21+%29%28+%2810sqrt7+%2B6sqrt21+%2B+14%29%2F2-14+%29%2F2%29

 

oppure , l'ho scoperto ora(!), dopo aver selezionato, scegli (vai all'ind. web) invece di copia ...