piramide e sfera

 

Il raggio r della sfera circoscritta è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele ACV , AC essendo la diagonale della figura di base e V il vertice della piramide

https://archivioscienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2012/04/19/due-problemi-di-geometria-solida-2/

altezza VM = √apot.^2-(L/2)^2 = √5^2-3^2 = 4,0 cm 

AC = 6√2 cm 

AV = CV = √(3√2)^2+4^2 = √18+16 = √34

La misura del raggio r del cerchio circoscritto a un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il prodotto delle misure dei lati e il quadruplo dell'area del  triangolo stesso.

https://www.google.com/search?client=opera&q=circonferenza+circoscritta+ad+un+triangolo&sourceid=opera&ie=UTF-8&oe=UTF-8

calcolo del raggio r 

quadrupla area triangolo ACV = VM*AC*2  = 4*12√2 = 48√2 cm^2

prodotto misura lati = √34*√34*6√2 = 204√2 cm^2

r = 204/48 = 4,250 cm 

volume sfera Vs = π/6*d^3 = 0,52360*8,5^3 = 321,56 cm^3

Ciao. Ti spiego la mia strategia risolutiva. La sfera di cui si cerca il volume la calcolo come solido di rotazione con asse che passa per l’altezza della piramide in modo tale che poi, tutti i vertici della piramide toccano la superficie di tale sfera. A tal fine immagino di sezionare la sfera con un piano verticale passante per tale asse e quindi ottengo una circonferenza. Questa circonferenza è tale per cui un punto è il vertice della piramide e gli altri due distano da tale asse quanto la semidiagonale della base quadrata di tale piramide. Vedrò di rispondere meglio e più a fondo più tardi.

Riprendo quanto ho detto in precedenza con i calcoli.

h = √(a^2 - (b/2)^2) altezza piramide con Pitagora

con a = 5cm  e b = 6 cm

ottengo: h = √(5^2 - (6/2)^2) = 4 cm

d = b·√2 = Diagonale di base e  b=lato di base della piramide-----> d = 6·√2 cm

Quello che mi interessa: d/2 = 3·√2 cm ( = 4.242640687 cm)

Calcolo lo spigolo della Piramide ancora con Pitagora:

s = √((d/2)^2 + h^2)  = √((6·√2/2)^2 + 4^2) ----> s = √34 cm ( = 5.830951894 cm)

Quindi con riferimento alla sezione verticale della sfera che è una circonferenza di raggio r e pertanto pari al raggio della sfera dico che vale il 2° teorema di Euclide e pertanto vale la relazione:

4/(3·√2) = 3·√2/w avendo indicato con w la proiezione dell'altro cateto su ipotenusa (vedi figura allegata)

Quindi: w = 9/2 cm da cui finalmente il raggio r:

r = (h + w)/2 = (4 + 4.5)/2-----> r = 4.25 cm

e il sospirato volume v:v = 4/3·pi·r^3 = 4/3·pi·4.25^3-----> v = 321.555 cm^3

La sezione della piramide é un triangolo isoscele di lati 5, 5, 6 cm

L'altezza é, dal Teorema di Pitagora, sqrt (5^2 - (6/2)^2) = 4 cm

l'area é  6*4/2 = 12 cm^2

R = abc/(4S) = 5*5*6/(4*12) = 25/8 cm = 3.125 cm

Vs = 4/3 TT R^3 = 4/3 * 3.1416 * 3.125^3 cm^3 = 127.832 cm^3