Piramide

La qualificazione di "piramide retta" riassume l'informazione che il piede della perpendicolare alla faccia di base abbassata dal vertice d'apice cade nel baricentro del poligono di base; ma nulla dice né sul numero né sulla forma dei triangoli costituenti le facce laterali: informazioni che dipendono dal poligono di base del quale si sa, ma è detto solo indirettamente ("Il raggio del cerchio inscritto ..."), che è circoscrivibile. Tale informazione è sufficiente al calcolo sia dell'area di base che di quella laterale.
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L'area S di un poligono circoscrivibile è il semiprodotto fra perimetro p e inraggio r
* S = p*r/2
perché le congiungenti l'incentro coi vertici partiziona la superficie in triangoli che hanno ciascun lato come base e tutti la stessa altezza r.
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Con i dati
* h = 21 cm
* p = 98 cm
* r = 20 cm
si ha
* B = 98*20/2 = 980 cm^2 (area di base della piramide)
* V = S*h/3 = 980*21/3 = 6860 cm^3 (volume della piramide)
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Come la superficie di base è partizionata dall'incentro in triangoli che hanno ciascun lato come base, così la superficie laterale è partizionata dall'apice in triangoli che hanno anch'essi ciascun lato come base, ma altezze che sono ipotenuse di triangoli rettangoli tutti con lo stesso cateto h e l'altro cateto che è la distanza dal piede dell'altezza al lato di base.
Il dato che la base sia circoscrivibile vuol dire che quella distanza è r, eguale per tutte le facce; quindi lo sono anche tutte le ipotenuse
* a = √(h^2 + r^2) = √(21^2 + 20^2) = 29 cm (apotema della piramide)
da cui
* L = p*a/2 = 98*29/2 = 1421 cm^2 (area laterale della piramide)
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CONCLUSIONE
Il dato esplicito "piramide retta" non è servito a nulla.
Il dato implicito "circoscrivibile" è stato essenziale.

Una piramide retta ha l'altezza h di 21 cm, il perimetro di base di 98 cm ed  il raggio r del cerchio inscritto nel poligono di base di 20 cm.               

Calcolare l'area laterale Al e l'area totale At . 

la base non può essere quadrata (richiederebbe un perimetro di  160 cm) , non rimane che il triangolo 

raggio r = area base Ab/ semiperimetro p

Area base Ab = p*r = 98/2*20 = 980 cm^2

apotema a = √r^2+h^2 = √20^2+21^2 = √441+400 = 29,0 cm 

area laterale Al = 2p*a/2 = 49*29 = 1421 cm^2

area totale At = Ab+Al = 1.421+980 = 2.401 cm^2

Apotema $ap= \sqrt{21^2+20^2} = 29~cm$ (teorema di Pitagora);

area di base $Ab= \frac{2p_b×r}{2} = \frac{98×20}{2} = 980~cm^2$;

area laterale $Al= \frac{2p_b×ap}{2} = \frac{98×29}{2} = 1421~cm^2$;

area totale $Ab+Al = 980+1421 = 2401~cm^2$.