Piramide 171

Per l'altezza ci devo pensare un po'.....

La soluzione dovrebbe essere nel secondo disegno:

Vedi anche:

https://www.ripmat.it/mate/f/fq/fqd.html

(raggio cerchio inscritto in triangolo equilatero)

r = √3/6·a

apotema della faccia laterale formata da triangolo equilatero:

√3/2·a

Con Pitagora l'altezza= h = √((√3/2·a)^2 - (√3/6·a)^2)

h = √6·a/3

Quindi:

V = 1/3·(√3/2·a^2)·(√6/3·a)----->  V = √2·a^3/6

L'area del rombo di base è il doppio dell'area di un triangolo equilatero CBD di lato a;

altezza triangolo equilatero, h = a * radice(3) / 2 ;

la base è il lato a,

Area = a * h / 2;

Area triangolo CBD = a * [a * radice(3) / 2] : 2 = a^2 * radice(3) / 4;

area rombo di base:

Area base = 2 * (Area CBD) = a^2 * radice(3) / 2;

Area delle due  facce laterali che sono triangoli equilateri:

A1 + A2 = 2 * a^2 * radice(3) / 4 = a^2 * radice(3) / 2; (2 facce laterali);

Area A3, A4  dei due  triangoli rettangoli con cateti uguali ad a:

A3 + A4 = 2 * (a * a /2) = a^2;

Area laterale = A1 + A2 + A3 + A4;

Area laterale = a^2 * radice(3) / 2 + a^2 = a^2 * [radice(3)/2  + 1];

Area totale = a^2 * radice(3) / 2 + a^2 * [radice(3)/2  + 1];

Area totale = a^2 * [radice(3)/2 + radice(3)/2  + 1];

Area totale = a^2 * [radice(3) + 1];

Volume = Area base* H / 3;

La piramide non è retta. L'altezza cade nel centro del cerchio inscritto al triangolo equilatero ABD che ha di fianco i due triangoli equilateri verdi.

r del cerchio inscritto nel triangolo equilatero di base  = 1/3 * h = 1/3 * a * radice(3) / 2;

r = a radice(3) / 6;

H altezza piramide: si trova con Pitagora: l'altezza h della faccia laterale è l'ipotenusa, r è il cateto; H è l'altro cateto. 

H = radicequadrata[ h^2 - r^2] = radice[(a * radice(3) / 2)^2 - ( a radice(3) / 6)^2] ;

H= radice[(a^2 * 3/4) - (a^2 * 3 / 36)] = radice[a^2 * (3/4 - 3/36)];

H = a * radice[3/4 - 1/12] = a * radice(8/12) = a * radice(2/3)

Volume = Area base* H / 3;

Volume =  1/3 * [a^2 * radice(3) / 2]  * [a * radice(2/3)] ;

V = 1/3 * a^3 * radice(3) * radice(2) / [2 * radice(3)];

V = a^3 radice(2) / 6.  (Così va bene).

La piramide non è retta. 

@alfonso3 ho corretto.

Non andava bene la mia frettolosa conclusione. Guarda da LucianoP   

Ciao.  @alfonso3