piano nello spazio

P [5, 0, -2]

Pongo: x = t

ed ottengo la retta r in equazioni parametriche:

t - 3 = y + 4-----> y = t - 7

z/2 = t - 3-----> z = 2·t - 6

Quindi:

{x = t

{y = t - 7

{z = 2·t - 6

(verifico facilmente che sulla retta r non ci sia il punto P)

Per t = 0 ottengo:

A [0, -7, -6]

Per t = 1 ottengo:

B [1, -6, -4]

Impongo il passaggio per i tre punti ottenuti al piano generico:

a·x + b·y + c·z + d = 0

{a·5 + b·0 + c·(-2) + d = 0

{a·0 + b·(-7) + c·(-6) + d = 0

{a·1 + b·(-6) + c·(-4) + d = 0

Quindi risolvo:

{5·a - 2·c + d = 0

{7·b + 6·c - d = 0

{a - 6·b - 4·c + d = 0

ed ottengo: [a = - 5·d/27 ∧ b = d/9 ∧ c = d/27]

pongo d = -27

ed ottengo: [a = 5 ∧ b = -3 ∧ c = -1]

5·x - 3·y - z - 27 = 0

Scriviamo l'equazione del fascio di piani Γ: che contiene la retta r: data e determiniamo quel piano che passa per P(5, 0, -2)

1. Riscriviamo la retta r:

$ \begin{cases} x-\frac{z}{2}-3 = 0 \\ y-\frac{z}{2}+4 = 0 \end{cases} $    ovvero

$ \begin{cases} 2x-z-6 = 0 \\ 2y-z+8 = 0 \end{cases} $ 

2. Equazione del fascio di piani contenete la retta r:

Γ: 2x - z - 6 + λ(2y - z + 8) = 0

3. Imponiamo il passaggio per P(5, 0, -2)

10 + 2 - 6 + λ(2 + 8) = 0  ⇒ λ = -3 / 5

che sostituita nell'equazione del fascio ci da

2x - z - 6 -(3/5)(2y - z +8) = 0

5x - 3y - z -27 = 0