[Risolto] Piano cartesiano e retta

Ciao!

1) per verificare che un punto appartenga a una retta basta sostituire le coordinate nel punto nella retta stessa, quindi:

$A(1; -1) $ e $r: 2x-3y -5 = 0 $

$2 (1) - 3(-1) - 5 = 0 $
$2+3-5 = 0 $
$0=0 $ vero, quindi $A$ appartiene alla retta.

Facciamo lo stesso con $B$:

$B(5;1)$ , $2(5)-3(1)-5 = 0 $
$10-3-5 = 0 $
$2 = 0 $ falso, quindi il punto non appartiene alla retta.

2) La rappresentazione grafica è semplice e te la lascio da svolgere. Per la parte algebrica basta mettere le due rette a sistema:

$\begin{cases} x+y-5 = 0 \\2x+y+1 = 0 \end{cases} $
$\begin{cases} y = -x+5 \\ 2x + (- x+5) +1 = 0 \end{cases} $
$\begin{cases} y = -x+5 \\ 2x-x +5+1  = 0 \end{cases} $
$\begin{cases} y = -x+5 \\ x +6  = 0 \end{cases} $
$\begin{cases} y = -x+5 \\ x =-6 \end{cases} $
$\begin{cases} y = +6+5 \\ x= -6 \end{cases} $

quindi il punto di intersezione è $(-6; 11)$.

3) Formula del coefficiente angolare della retta passante per due punti $AB$: $m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ 

Formula della retta passante per un punto $P$ e con coefficiente angolare $m$:

$y-y_P = m(x-x_P)$

Determiniamo il coefficiente angolare di $QR$: 

$m_{QR} = \frac{8+2}{1-5} = -\frac{10}{4} = -\frac52 $

quindi la retta parallela passante per $P$ avrà sempre coefficiente angolare $-\frac52$, da cui:

$y-6 = -\frac52 (x+5) $

$y = -\frac52 x -\frac{13}{2} $

Se invece è perpendicolare, allora il suo coefficiente angolare sarà il reciproco opposto, quindi $ \frac25 $:

$y - 8 = \frac25(x-1) $

$y = - \frac25 x  + \frac{39}{5}$

4) 

 E' isoscele cioè $AB = BC$. Calcoliamo la distanza tra i punti:

$AB = \sqrt{ (-1-3)^2+(3-5)^2} = \sqrt{ 16+4} = \sqrt{20} $

$BC = \sqrt{(1-3)^2+(1-5)^2} = \sqrt{ 4+16} = \sqrt{20} $

Per calcolare il perimetro ci manca solo la misura di $AC$:
$AC = \sqrt{ (-1-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{ 4+4} = \sqrt{8} $

quindi il perimetro è : $2 \sqrt{20}+\sqrt{8} = 4 \sqrt{5} + 2\sqrt{2} $

Per calcolare l'area ci manca invece l'altezza. Si può fare in due modi:

in generale, si calcola la distanza punto-retta tra la retta passante per $AC$ e il punto $B$. 

In questo caso usiamo il secondo modo: in un triangolo isoscele l'altezza collega il vertice e il punto medio della base. 

Il punto medio di $AC$ è $M = (\frac{-1+1}{2}; \frac{ 3+1}{2} ) = (0; 2)$

e adesso basta calcolare $BM$:

$BM = \sqrt{ (0-3)^2 + (2- 5)^2} = \sqrt{ 18 } $

allora l'area è $ \sqrt{8} \cdot \sqrt{18} \cdot \frac12 = 12 \frac12 = 6 $ 

Risolvo il primo esercizio: 

Per verificare che i punti appartengono alla retta bisogna ottenere un’identità sostituendo il punto dato in r.

Data la retta 

r: $2x-3y-5=0$

Il punto $A(1;-1)$ appartiene alla retta?

Sostituiamo $x=1$ e $y=-1$

$2(1)-3(-1)-5=2+3-5=5-5=0$ 

Quindi A appartiene a r.

Il punto $B(5;1)$ appartiene alla retta?

Sostituiamo $x=5$ e $y=1$ e otteniamo 

$2(5)-3(1)-5= 10-3-5=2$ 

2 è diverso da 0, quindi B non appartiene a r.

Risolvo il secondo esercizio:

La rappresentazione grafica delle due rette è la seguente:

Per poterle rappresentare basta trovare due punti di appartenenza per ognuna delle due rette e ricercare i punti trovati sul piano cartesiano. 

Per stabilire il punto di intersezioni fra di essere bisogna impostare un sistema e risolverlo, ad esempio, tramite il metodo di sostituzione.

$\begin{cases} x+y-5&= 0\\ 2x+y+1&= 0\\ \end{cases}$

Dalla prima equazione si trova $y=-x+5$ 
Sostituendo nella seconda equazione si ottiene 

$2x-x+5+1=0$

Allora $x=-6$

Sostituendo $x=-6$ in $y=-x+5$ si ottiene 

$y=-(-6)+5=6+5=11$

Allora il punto di incontro delle due rette è $P(-6;11)$