Piano cartesiano

A [2·k, 1 - 2·k]

B [k + 3, k - 3]

C [4 - k, k]

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a. il punto medio di AB appartiene all'asse x;

y = (1 - 2·k + k - 3)/2  deve essere y=0

{y = - (k + 2)/2

{y = 0

[k = -2 ∧ y = 0] quindi i punti sono:

[2·(-2), 1 - 2·(-2)]----> A [-4, 5]

[-2 + 3, -2 - 3]---> B [1, -5]

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b. il segmento AC non interseca l'asse y;

Deve risultare:

2·k·(4 - k) > 0---> 8·k - 2·k^2 > 0

quindi: 0 < k < 4

(le ascisse dei due punti devono avere lo stesso segno)

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c. il baricentro del triangolo ABC si trova sulla retta di equazione y = -x + 1;

Le coordinate del baricentro devono soddisfare l'equazione della retta data.

{x = (2·k + k + 3 + 4 - k)/3-----> x = (2·k + 7)/3

{y = (1 - 2·k + k - 3 + k)/3----> y = - 2/3

y = -x + 1:

- 2/3 = - (2·k + 7)/3 + 1

risolvo ed ottengo: k = -1

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d. AB <√5.

Deve risultare:

√((k + 3 - 2·k)^2 + (k - 3 - 1 + 2·k)^2) < √5

√((k^2 - 6·k + 9) + (9·k^2 - 24·k + 16)) < √5

√(10·k^2 - 30·k + 25) < √5

Quindi risolvo il sistema:

{10·k^2 - 30·k + 25 ≥ 0-----> true (sempre vera)

{10·k^2 - 30·k + 25 < 5----> 1 < k < 2