Stabilisci per quali valori del parametro $a \in \mathbb{R}$ il seguente sistema ha soluzioni coincidenti.
$$
\left\{\begin{array}{l}
a\left(x^2+1\right)-2 x(x+a-1)=y \\
2 x+y+a=0
\end{array}\right.
$$
Buonasera, non ho ancora molta confidenza con questo tipo di problemi. So che per avere soluzioni coincidenti bisogna imporre delta =0, ma con i sistemi mi perdo ancora. Cortesemente, mi illustrate la procedura?
Ringrazio e buona serata.
441
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Livello 1
{a·(x^2 + 1) - 2·x·(x + a - 1) = y
{2·x + y + a = 0
risolvi per sostituzione: y = - 2·x - a
a·(x^2 + 1) - 2·x·(x + a - 1) = - 2·x - a
(a·x^2 + a) - (2·x^2 + 2·x·(a - 1)) + 2·x + a = 0
x^2·(a - 2) + 2·x·(2 - a) + 2·a = 0
Δ/4 = 0 ( condizione di tangenza)
(2 - a)^2 - (a - 2)·2·a = 0
(a^2 - 4·a + 4) - (2·a^2 - 4·a) = 0
4 - a^2 = 0-----> a = -2 ∨ a = 2
Per a = -2 si ottiene:
{y = - 4·x^2 + 6·x - 2
{y = 2 - 2·x
per a=2 lascio le conclusioni a te.
115472
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Genius III
@lucianop grazie Luciano ...
Di nulla . Buona notte.
4982
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Livello 2
@alfonso3 👍👍
@Remanzini_Rinaldo
Ah, ah! Confessa che i pollici in su l'hai messi senza aver svolto l'esercizio, vero?
Quandoque bonus dormitat Homerus!
Saluti.
@ exProf : confiteor 🤭
@alfonso3 Grazie Alfonso, piacere di conoscerti...
Il risultato atteso [a = ± 2] è ERRATO in quanto riporta una condizione necessaria, ma tutt'altro che sufficiente per ottenere "soluzioni coincidenti"; il risultato corretto ha solo il segno meno.
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Il sistema, composto da sole equazioni razionali nelle variabili reali {x, y, a}, è definito ovunque nello spazio Oaxy e si risolve simbolicamente in "x, y" con parametro "a" come al solito (due equazioni in tre variabili).
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* (2*x + y + a = 0) & (a*(x^2 + 1) - 2*x*(x + a - 1) = y) ≡
≡ (y = - (2*x + a)) & (y = (a - 2)*x^2 - 2*(a - 1)*x + a) ≡
≡ (y = - (2*x + a)) & (y = (a - 2)*(x - (a - 1)/(a - 2))^2 + a - ((a - 1)/(a - 2))^2)
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Chiedere se il sistema abbia soluzioni coincidenti, e se le ha quali siano, vuol dire stabilire se fra il fascio di parallele di pendenza m = - 2
* r(a) ≡ y = - (2*x + a)
e il fascio di parabole
* Γ(a) ≡ y = (a - 2)*(x - (a - 1)/(a - 2))^2 + a - ((a - 1)/(a - 2))^2
ci siano coppie (r, Γ), corrispondenti per avere il medesimo parametro, che siano tangenti.
Ciò accade se e solo se si azzera il discriminante dell'equazione risolvente del sistema.
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Risolvente
* (a - 2)*x^2 - 2*(a - 1)*x + a + 2*x + a = 0 ≡
≡ (a - 2)*x^2 - 2*(a - 2)*x + 2*a = 0
Discriminante
* Δ(a) = - 4*(a + 2)*(a - 2)
che si azzera per a = ± 2 dando luogo alle due coppie (r, Γ)
* (y = 2 - 2*x) & (y = - 4*x^2 + 6*x - 2) ≡ T(1, 0) punto doppio, di tangenza.
* (y = - 2*x - 2) & (y = 2*(1 - x)) ≡ impossibile, la parabola degenera in una retta del fascio r(a).
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Genius I
@exprof difatti, se sono coincidenti dovrebbero essere uguali, non per niente qualcuno si esprime nei termini di "unica soluzione"... Comunque, sono rientrato da poco e sono troppo stanco, mi studio le soluzioni che mi avete dato appena mi riprendo... Ringrazio e buona serata
@exprof appena finito di svolgere in toto l'esercizio, dunque, con a=-2 in effetti ottengo due soluzioni coincidenti o doppie, come suol dirsi, x=1 e y=0, mentre con a=2 si ottiene 4=0 che non ha senso...
