Dai vertici opposti A e C di un parallelogramma ABCD si conducano le perpendicolari alla diagonale BD e siano rispettivamente E e F i piedi di tali perpendicolari. Dimostrare che il quadrilatero AFCE è un parallelogramma.
Dai vertici opposti A e C di un parallelogramma ABCD si conducano le perpendicolari alla diagonale BD e siano rispettivamente E e F i piedi di tali perpendicolari. Dimostrare che il quadrilatero AFCE è un parallelogramma.
1
punto
Livello 0
Procediamo come segue.
AED e BFC sono due triangoli rettangoli congruenti.
Infatti ABD^ = BDC^ perché alterni interni formati dalle parallele ( per ipotesi ) AB e DC tagliate dalla
trasversale BD
e ADE^ = CBF^ perché differenze di angoli congruenti :
ADE^ = D^ - BDC^ e CBF^ = B^ - ABD^.
Quindi é valido il terzo criterio ridotto dei triangoli rettangoli ( ipotenusa e un angolo acuto ) essendo
AD = BC perché lati opposti di un parallelogramma per ipotesi.
In particolare risulta DE = BF e AE = FC.
Ora EFC é congruente a AEF per il primo criterio :
sono entrambi rettangoli;
AE = FC per quanto dimostrato in precedenza
EF é lato comune e quindi congruente a se stesso.
Ne segue che AF = EC e poiché avevamo già constatato che AE = FC
il quadrilatero AFCE presenta due coppie di lati opposti congruenti e per un
teorema inverso ( criterio di riconoscimento ) é quindi un parallelogramma.
58339
punti
Livello 7
@eidosm 👍👍