Parallelepipedo

Il parallelepipedo è riferito ad un sistema di assi ortogonali fra loro come in figura.

Determino le misure degli spigoli:

x=AB  ; y=BC   ; z=BF

y = 3/5·x

z = 4/3·(3/5·x)----> z = 4·x/5

Δ = 5·a·√2 è la misura delle diagonali del parallelepipedo

Δ = √(x^2 + (3/5·x)^2 + (4·x/5)^2)----> Δ = √2·x = 5·a·√2

Deve essere: x = 5·a

y = 3/5·(5·a)----> y = 3·a

z = 4·(5·a)/5---> z = 4·a

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Equazione parametrica retta AG:

A [0, 0, 0]

G [5·a, 3·a, 4·a]

{x = 5·a·t

{y = 3·a·t

{z = 4·a·t

con: 0 ≤ t ≤ 1

Retta BH

B [5·a, 0, 0]

H [0, 3·a, 4·a]

{x = 5·a - 5·a·t

{y = 3·a·t

{z = 4·a·t

con : 0 ≤ t ≤ 1

Condizioni di perpendicolarità fra le due rette è che la somma dei prodotti dei parametri direttori omologhi sia nulla:

5·a·(- 5·a) + 3·a·(3·a) + 4·a·(4·a) = 0

La sezione del piano formato dai punti BCM con il parallelepipedo è rettangolare: BCNM

L'area di tale rettangolo vale:

Α = ΒC·ΒΜ = (3·a)·√((5/2·a)^2 + (4·a)^2)----> A = 3·√89·a^2/2

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I due solidi sono:

prisma a base trapezoidale e prisma a base triangolare rettangolare

Α(ABME) = 1/2·(5·a + 5/2·a)·4·a-----> Α(ABME) = 15·a^2

V(ABME) = 15·a^2·3·a-------> V(ABME) = 45·a^3

Α(BFM) = 1/2·(5/2·a)·(4·a)----> Α(BFM) = 5·a^2

V(BFM)=5·a^2·3·a-----> V(BFM)= 15·a^3

Vtot=45·a^3 + 15·a^3 = 60·a^3

(infatti Vtot=5·a·(3·a)·(4·a) = 60·a^3

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La distanza di G dal piano BCM è pari all'altezza h del triangolo rettangolo BFM rispetto alla sua ipotenusa BM, quindi:

h=2*A(BFM)/BM=2·5·a^2/√((5/2·a)^2 + (4·a)^2) = 20·√89·a/89

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A(sfera)=4·pi·r^2· 

V(sfera)= 4/3·pi·r^3

con r= AG/2=√((5·a)^2 + (3·a)^2 + (4·a)^2)/2 = 5·√2·a/2

A(sfera)=4·pi·(5·√2·a/2)^2 = 50·pi·a^2

V(sfera)=4/3·pi·(5·√2·a/2)^3 = 125·√2·pi·a^3/3

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