[Risolto] Parabole tangenti e triangoli congruenti

Ciao @beppe

per il momento accontentati del disegno allegato. Poi, nel pomeriggio, vedrò di mandarti la spiegazione analitica del problema.

{y = x^2 - 4·x + c

{y = - x^2 + 8·x - 18

--------------------------(sottraggo)

2·x^2 - 12·x + 18 + c = 0

Impongo la condizione di tangenza: Δ/4 = 0

6^2 - 2·(18 + c) = 0------> - 2·c = 0-----> c = 0

parabola p1:  y = x^2 - 4·x

Il punto A di tangenza fra le due parabole  2·x^2 - 12·x + 18=

x^2-6x+9=0------> x=3

y=3^2 - 4·3 = -3     quindi A(3,-3)

Rette passanti per A:

y + 3 = - 2·(x - 3)--------> y = 3 - 2·x

y + 3 = - 1·(x - 3)-------> y = -x

Determinazione punti B e C

{y = x^2 - 4·x

{y = 3 - 2·x

risolvo ed ottengo: [x = -1 ∧ y = 5, x = 3 ∧ y = -3]      B(-1,5)

{y = x^2 - 4·x

{y = -x

risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 3 ∧ y = -3]          C(0,0)

Area e perimetro di questo triangolo penso tu lo sappia determinare!

Tale area e tale perimetro sono gli stessi dell'altro triangolo. Perché A è punto di simmetria centrale delle due funzioni.

Infatti:

Si ottiene la funzione simmetrica di y = x^2 - 4·x facendo in essa le sostituzioni:

x------->2*3-x

y------->2*(-3)-y

2·(-3) - y = (2·3 - x)^2 - 4·(2·3 - x)-------> -y - 6 = (x^2 - 12·x + 36) - (24 - 4·x)

y = - x^2 + 8·x - 18

E quindi il triangolo ABC è simmetrico rispetto ad A  del triangolo AED (il calcolo dei vertici e dell'area lo lascio fare a te!). Quindi i due triangoli sono congruenti

@Beppe 

Ciao Beppe,

può succedere che la risposta tardi ad arrivare. Le persone che scrivono sul sito lo fanno esclusivamente per il piacere di aiutare i ragazzi, ciascuno nei propri ritagli di tempo.

Detto questo ti spiego quale procedimento seguirei per risolvere l'esercizio, lasciando a te poi lo svolgimento della seconda parte che non presenta a mio parere alcuna difficoltà.

Il punto A(3, - 3) risulta essere il punto medio sia del segmento BD sia del segmento CE. I due triangoli sono quindi congruenti poiché hanno due lati e l'angolo compreso (opposto al vertice) congruenti. 

Se riscontri difficoltà nel proseguimento dell'esercizio, metti una foto con il tuo procedimento ed eventualmente scrivi le difficoltà che incontri. Buona giornata 

Nella mia risposta al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/50472/
troverai una risoluzione dettagliata (1686 battute) di quasi tutti i problemi di quest'esercizio (salvo gli ultimi due, banali), preceduta da un'abbondante lamentela-contestazione-sfogo (1857 battute) contenente anche una richiesta di un piccolo favore, se puoi farlo tu a me.