[Risolto] parabole

a·x^2 + (1 - 3·a)·x - y - 3 = 0

La famiglia di linee di cui si parla rappresenta un fascio di parabole:

y = a·x^2 + x·(1 - 3·a) - 3

per cui si possono individuare i punti base del fascio. Riscriviamo quindi il fascio dato nel seguente modo:

a·(x^2 - 3·x) + x - y - 3 = 0

quindi il sistema:

{x - y - 3 = 0

{x^2 - 3·x = 0

che fornisce soluzione: [x = 0 ∧ y = -3, x = 3 ∧ y = 0]

[0,-3] e [3,0] sono i punti base

per a=0 abbiamo la retta generatrice del fascio: y = x - 3

Per calcolare le due parabole dobbiamo innanzitutto fare la differenza fra le due funzioni:

a·x^2 + x·(1 - 3·a) - 3 - (x - 3) = a·x^2 - 3·a·x

Integrarla fra x=0 ed x=3:

∫(a·x^2 - 3·a·x)dx= a·x^3/3 - 3·a·x^2/2

a·3^3/3 - 3·a·3^2/2 = - 9·a/2

a·0^3/3 - 3·a·0^2/2 =0

Imporre quindi che:

ABS(- 9·a/2) = 9/2

da cui la soluzione: a = 1 ∨ a = -1

da cui le due parabole congruenti:

y = 1·x^2 + x·(1 - 3·1) - 3----> y = x^2 - 2·x - 3

y = (-1)·x^2 + x·(1 - 3·(-1)) - 3---> y = - x^2 + 4·x - 3