[Risolto] Parabole

«... però non mi trovo con il risultato. PS:ho usato la formula -(1+b²-4ac/4a)=0»
e sarà per quello!
Finché si è principianti e ci si allena svolgendo esercizi per quando si troveranno i problemi veri è d'obbligo ragionare da zero su un esercizio alla volta, senza fare affidamento sulla memoria o su soluzioni precostituite che magari c'entrano come i cavoli a merenda.
«Il risultato di k dovrebbe essere 5/2 e -1/2 ...» e, in effetti, lo è.
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Manipolando un po' l'equazione data se ne ottengono altre forme da cui leggere alcune proprietà geometriche (fra cui quella che t'interessa).
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Dalla forma data
* Γ(k) ≡ x = k*y^2 - 2*y + (k - 2)
si vedono
* intersezione X(k - 2, 0) con l'asse x
* Γ(0) ≡ x = - 2*(y + 1), parabola semplicemente degenere su una retta singola
* Γ(2) ≡ x = 2*(y - 1)*y, parabola per l'origine
* Γ(0) & Γ(2) ≡ (x = - 2*(y + 1)) & (x = 2*(y - 1)*y) ≡ nessun punto base
* per le Γ(k) non degeneri dall'apertura k != 0 si ha
** concavità rivolta verso x < 0 se k < 0, altrimenti verso x > 0
** f = |Vd| = |VF| = 1/(4*|k|), distanza focale (fra direttrice d, vertice V, fuoco F)
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Dalla forma fattorizzata
* Γ(k) ≡ x = k*(y - (1 - √(1 + 2*k - k^2))/k)*(y - (1 + √(1 + 2*k - k^2))/k)
si vedono le intersezioni con l'asse y
* Y1(0, (1 - √(1 + 2*k - k^2))/k) oppure Y2(0, (1 + √(1 + 2*k - k^2))/k)
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Dalla forma che si ottiene completando il quadrato dei termini in y
* Γ(k) ≡ x = k*(y - 1/k)^2 + (k^2 - 2*k - 1)/k
si rilevano
* vertice V((k^2 - 2*k - 1)/k, 1/k)
* fuoco F((k^2 - 2*k - 1)/k + 1/(4*k), 1/k) = ((4*k^2 - 8*k - 3)/(4*k), 1/k)
* direttrice d ≡ x = (k^2 - 2*k - 1)/k - 1/(4*k) = (4*k^2 - 8*k - 5)/(4*k)
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Per determinare quali parabole non degeneri del fascio abbiano l'asse y come direttrice si risolve
* ((4*k^2 - 8*k - 5)/(4*k) = 0) & (k != 0) ≡
≡ k^2 - 2*k - 5/4 = 0 ≡
≡ (k - 1)^2 = (3/2)^2 ≡
≡ k - 1 = ± 3/2 ≡
≡ k = 1 ± 3/2 ≡
≡ (k = - 1/2) oppure (k = 5/2)
che è proprio il risultato atteso.

Confermo la tua soluzione; potrebbe essere sbagliato il risultato del testo (capita a volte)