[Risolto] Parabole

é un esercizio standard, si tratta solo di non sbagliare i calcoli.

Imponendo a y = ax^2 + bx + c la condizione di appartenenza di A

si ottiene 1 = 0 + 0 + c =>  c = 1

y = ax^2 + bx + 1

La risolvente ax^2 + bx + 1 = - 4x

ax^2 + (b + 4) x + 1 = 0

deve avere discriminante nullo per la tangenza

(b + 4)^2 - 4a = 0

Analogamente, la risolvente

4x - 3 + 4(ax^2 + bx + 1) = 0

4ax^2 + 4bx + 4x + 4 - 3 = 0

4ax^2 + 4(b + 1)x + 1 = 0

deve avere discriminante nullo per la tangenza (D/4 = 0)

4(b + 1)^2 - 4a = 0

Confrontando

4a = (b + 4)^2 = [2(b + 1)]^2

che significa    |b+4| = 2|b+1|

ovvero

b + 4 = 2b + 2

-b = -2

b = 2

a = (b + 1)^2 = 3^2 = 9

e y = 9x^2 + 2x + 1

oppure

b + 4 = - 2b - 2

3b = -6

b = -2

 

a = (-2+1)^2 = 1

e y = x^2 - 2x + 1

Per essere tangente a due rette distinte e incidenti
* r ≡ y = - 4*x
* s ≡ 4*x + 4*y - 3 = 0 ≡ y = 3/4 - x
la parabola Γ con
* asse di simmetria x = w, parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
* equazione Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
deve avere un punto doppio in comune con ciascuna delle due rette, cioè ciascuno dei sistemi
* r & Γ ≡ (y = - 4*x) & (y = h + a*(x - w)^2)
* s & Γ ≡ (y = 3/4 - x) & (y = h + a*(x - w)^2)
deve avere l'equazione risultante con discriminante nullo.
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* r & Γ → h + a*(x - w)^2 - (- 4*x) = 0 → Δ = - 4*(a*h + 4*a*w - 4) = 0
* s & Γ → h + a*(x - w)^2 - (3/4 - x) = 0 → Δ = - 4*a*h - 4*a*w + 3*a + 1 = 0
il sistema dei vincoli determina due parametri
* (a*h + 4*a*w - 4 = 0) & (- 4*a*h - 4*a*w + 3*a + 1 = 0) & (a != 0) ≡
≡ (w = (5 - a)/(4*a)) & (h = (a - 1)/a)
in funzione del terzo che si determina dal vincolo d'appartenenza di A(0, 1).
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La parabola
* Γ(a) ≡ y = (a - 1)/a + a*(x - (5 - a)/(4*a))^2
passa per A se e solo se
* 1 = (a - 1)/a + a*(0 - (5 - a)/(4*a))^2 ≡ (a = 1) oppure (a = 9)
da cui
* Γ(1) ≡ y = (x - 1)^2
* Γ(9) ≡ y = 9*x^2 + 2*x + 1
che è proprio il risultato atteso.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28-4*x-y%29*%283%2F4-x-y%29%3D0%2C%28%28x-1%29%5E2-y%29*%28y-1-2*x-9*x%5E2%29%3D0%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-1to5