Parabola n36

Question

Dopo aver disegnato nel piano cartesiano la curva (parabola) rappresentatrice della funzione $y=-\frac{1}{3} x^2+\frac{28}{3}$ condurre nel segmento parabolico, delimitato dalla curva $e$ dall'asse delle $x$, una corda $A B$ parallela a quest'asse, in modo che sia $2 p$ il perimetıo del rettangolo avente per vertici $A, B$ e le proiezioni $A^{\prime}, B^{\prime}$ di questi punti sull'asse $x$. Calcolare per quali valori di $p$ il rettangolo risulta quadrato o con due lati consecutivi uno metà dell'altro.
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\text { [R.: } p=4(\sqrt{37}-3) ; p=12]
$$

Autore

Risposta

Alfonso3

(@alfonso3)

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Livello 2

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07/02/2023 13:02

LucianoP · Accepted Answer

[attach]36370[/attach] In figura : p = 12 [x, - 1/3·x^2 + 28/3] sono le coordinate del punto B La parabola è simmetrica rispetto al suo asse verticale x=0. Il rettangolo con due lati consecutivi, uno metà dell'altro lo si ottiene per B che ha coordinate che soddisfano l'equazione: ascissa di B = ordinata di B-----> - 1/3·x^2 + 28/3 = x 1/3·x^2 + x - 28/3 = 0 x^2 + 3·x - 28 = 0 (x - 4)·(x + 7) = 0-----> x = -7 ∨ x = 4 (la prima si scarta) x = 4---->     y = - 1/3·4^2 + 28/3 = 4-----> B(4,4) Il perimetro del rettangolo di figura è: 2p=2(8+4)=24 -----> p= semiperimetro =12 Analogamente, per avere un quadrato devi prendere B che ha coordinate che soddisfano l'equazione: ordinata di B= doppio ascissa di B-----> - 1/3·x^2 + 28/3 = 2·x - 1/3·x^2 + 28/3 - 2·x = 0 x^2 + 6·x - 28 = 0 risolvi ed ottieni: x = - √37 - 3 ∨ x = √37 - 3 (la prima si scarta)  y =- 1/3·(√37 - 3)^2 + 28/3= 2·√37 - 6 da cui p=2·(√37 - 3) + 2·√37 - 6 = 4·√37 - 12 =4·(√37 - 3)

[Risolto] Parabola n36

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