[Risolto] Parabola

Che la direttrice sia
* d ≡ y - 6 = 0 ≡ y = 6
parallela all'asse x, vuol dire che l'asse di simmetria è la retta
* x = - 2
la parallela all'asse y per il fuoco F(- 2, 4).
Il vertice V della richiesta parabola Γ è sull'asse a metà distanza da d ed F
* V(- 2, 5)
quindi
* Γ ≡ y = 5 + a*(x + 2)^2
---------------
Che l'ordinata della direttrice (y = 6) sia maggiore di quella del fuoco (yF = 4), vuol dire che la richiesta parabola Γ volge la concavità verso y < 0, quindi a < 0.
Dalla definizione di distanza focale
* f = |VF| = |Vd| = 1/(4*|a|) = 1
si ha
* |a| = 1/4
e infine
* Γ ≡ y = 5 - (x + 2)^2/4
------------------------------
Il luogo dei punti P(x, y) equidistanti da due rette date:
* se le rette sono parallele è l'asse della loro striscia;
* se le rette sono incidenti è l'iperbole, degenere sui suoi asintoti, costituita dalle bisettrici degli angoli con vertice nell'intersezione.
---------------
Se le rette sono (y = 6) & (x = 0), incidenti in (0, 6), allora le
bisettrici sono
* y = 6 - x
* y = 6 + x
il luogo è
* (y - 6)^2 = x^2
da cui
* ((y - 6)^2 = x^2) & (y = 5 - (x + 2)^2/4) ≡
≡ A(- 2*(2 + √2), 2*(1 - √2)) oppure B(- 2*(2 - √2), 2*(1 + √2))
---------------
Se le rette sono (y = 6) & (y = 0), parallele, allora il luogo è y = 3
da cui
* (y = 3) & (y = 5 - (x + 2)^2/4) ≡
≡ C(- 2*(1 + √2), 3) oppure D(- 2*(1 - √2), 3)
------------------------------
Segmenti
* AD, lungo √(5*(9 + 4*√2)), giace sulla y = x/2 + (4 - √2) di pendenza 1/2.
* BC, lungo √(5*(9 - 4*√2)), giace sulla y = x/2 + (4 + √2) di pendenza 1/2.
I due segmenti, avendo la stessa pendenza, sono le basi di un trapezio.
---------------
La differenza fra le intercette delle parallele è
* (4 + √2) - (4 - √2) = 2*√2
che, moltiplicata per cos(arctg(1/2)) = 2/√5, dà l'altezza del trapezio
* h = 4*√(2/5)
da cui l'area richiesta
* S(ACBD) = h*(|AD| + |BC|)/2 =
= (4*√(2/5))*(√(5*(9 + 4*√2)) + √(5*(9 - 4*√2)))/2 =
= 2*(√(5*(9 + 4*√2)) + √(5*(9 - 4*√2)))*√(2/5) =
= 2*(√(5*(9 + 4*√2))*√(2/5) + √(5*(9 - 4*√2))*√(2/5)) =
= 2*((4 + √2) + (4 - √2)) =
= 16