[Risolto] Parabola

data l'equazione della generica parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y,

$ y = ax^2 + bx + c $

cerchiamo quella che passa per A(0, 2) e V(-3,11) e asse di simmetria x = -3. Tali dati ci permettono di allestire un sistema di 3 equazioni nelle incognite a, b, c e così trovare l'equazione della nostra parabola.

$\left\{\begin{aligned} c &= 2 \qquad \text{passa per A(0,2)} \\ 11 &= 9a-3b+c  \qquad \text{passa per V(-3, 11)} \\ -3 &= -\frac{b}{2a} \qquad \text{asse di simmetria} \end{aligned} \right. $

La cui soluzione è a=-1 V b = -6 V c = 2

La parabola ha equazione $y = -x^2 -6x +2$

Possiamo così calcolare le coordinate del punto di tangenza T(-5, 7) introducendo nell'equazione precedente x = -5.

Poiché il punto T(-5, 7) appartiene alla parabola possiamo usare le formule di sdoppiamento, che per la parabola vale

$\frac {y+T_y}{2} = a T_x x + b \frac {x+T_x}{2} + c$

cioè

$\frac {y+7}{2} = - (-5) x - 6 \frac {x-5}{2} + 2$

un po' di calcoli ...

$ y = 4x+27 $

Se preferisci non usare le formule di sdoppiamento puoi seguire la via tradizionale con molti più calcoli

i) fascio di rette passanti per T(-5,7)

ii) Intersezione fascio/parabola

iii) Poni discriminante Δ = 0 e ricavi m (un solo punto di intersezione ovvero condizione di tangenza)

iv) Introduci il valore di m nel fascio e così trovi la retta tangente.

y = a·x^2 + b·x + 2 passa per A

poi

{11 = a·(-3)^2 + b·(-3) + 2

{- b/(2·a) = -3

Quindi risolvo:

{9·a - 3·b = 9

{b/a = 6

ed ottengo: [a = -1 ∧ b = -6]

y = - x^2 - 6·x + 2

y = - (-5)^2 - 6·(-5) + 2---> y = 7

[-5,7] : formule di sdoppiamento

(y + 7)/2 = - (-5)·x - 6·(x - 5)/2 + 2

y = 4·x +27