[Risolto] Parabola

Sono più delle tredici e ancora non si trova nemmeno un problemino su cui scrivere quattro righe: che micragna!
Mi rendo conto che tu, cara @Dillan, pubblichi in questa rozzissima maniera pensando "Ci sarà pure un fesso che mi svolge gli esercizi pronti da copiare!" (e del resto è già significativo che ti sia scelta come pseudonimo il nome di "... Dillan, un ragazzo autistico non verbale, ..."), ma resta il fatto che a me i problemini siano necessari.
Ti sottopongo una risposta di compromesso: se (sotto la tua mal educazione) sei anche moderatamente intelligente allora ne saprai fare buon uso; se invece sei anche stupida allora io avrò occupato un'oretta, ma tu non saprai che fartene.
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Esercizio #1
Tipico esempio di esercizio scritto male, preso da un libro che non si sarebbe dovuto adottare.
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IMPOSSIBILE AL SINGOLARE ("l'equazione della parabola").
Per il punto P(2, 3) passa una quadruplice infinità di parabole; per poterne scegliere una non basta imporre che V(1, 1) sia il vertice.
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Se, alla generica parabola, con (u, v) non entrambi nulli,
* Γ(a, b, c, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
s'impone il passaggio per P(2, 3), cioè
* (u*2 + v*3)^2 + a*2 + b*3 + c = 0 ≡ c = - (2*a + 3*b + (2*u + 3*v)^2)
si ha
* Γ(a, b, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + a*(x - 2) + b*(y - 3) - (2*u + 3*v)^2 = 0
che ha solo quattro parametri liberi invece di cinque.
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Anche V(1, 1) dev'essere su Γ, cioè
* a*(1 - 2) + b*(1 - 3) + (u*1 + v*1)^2 - (2*u + 3*v)^2 = 0 ≡
≡ a = - (2*b + (u + 2*v)*(3*u + 4*v))
da cui
* c = b + 2*u^2 + 8*u*v + 7*v^2
* Γ(b, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 - (2*b + (u + 2*v)*(3*u + 4*v))*x + b*y + (b + 2*(u + 2*v)^2 - v^2) = 0
dove i gradi di libertà si sono ridotti a tre.
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Imporre che V sia vertice, cioè che la pendenza
* m(x) = (2*u^2)*x + 2*u*v*y - 2*b - 3*u^2 - 10*u*v - 8*v^2
in V(1, 1) sia
* m(1) = (2*u^2)*1 + 2*u*v*1 - 2*b - 3*u^2 - 10*u*v - 8*v^2 = v/u
vuol dire
* b = - (u^3 + 8*(u + v)*u*v + v)/(2*u)
* a = - (2*u^3 + 2*u^2*v - v)/u
* c = (3*u^3 + 8*u^2*v + 6*u*v^2 - v)/(2*u)
e infine
* Γ(u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 - ((2*u^3 + 2*u^2*v - v)/u)*x - ((u^3 + 8*(u + v)*u*v + v)/(2*u))*y + (3*u^3 + 8*u^2*v + 6*u*v^2 - v)/(2*u) = 0
dove restano ancora i due gradi di libertà di (u, v) che rappresentano la pendenza dell'asse di simmetria
* - u/v
CONCLUSIONE
Puoi sbizzarrirti a vedere tutte le possibili parabole al variare di (u, v)
* per u = 0 si ha l'asse di simmetria parallelo all'asse x
* per v = 0 si ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y
AVVERTENZA
Dopo quest'orgia di algebra e dattilografia non posso dare alcuna garenzia di esattezza dei calcoli, chissà quante sviste mi saranno sfuggite!
Lo scopo di quest'orgia era solo quello di mostrarti a quali complicazioni ti espone la raffazzoneria di chi ha scritto l'esercizio senza specificare l'orientamento dell'asse di simmetria.
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Esercizio #2
Tipico esempio di esercizio scritto male, preso da un libro che non si sarebbe dovuto adottare.
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IMPOSSIBILE AL SINGOLARE ("l'equazione della parabola").
Di parabole con:
* apertura negativa;
* asse di simmetria x = 1 [y = h - a*(x - 1)^2];
* zeri in O(0, 0) e Z(2, 0) [y = - a*x*(x - 2)];
* ordinata di vertice minore di uno [0 < h < 1];
ne puoi tracciare un'infinità variando l'ordinata del vertice.
Le condizioni poste dalla figura si limitano a imporre
* h = a
cioè
* (y = a*(1 - (x - 1)^2)) & (0 < a < 1)
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5By%3D%281-%28x-1%29%5E2%29%2Fk%2C%7Bk%2C2%2C5%7D%5D
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Esercizio #3
E finalmente un problema ben posto!
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Costo
* "C=2000+25x+0.01x^{2}" ≡
≡ c(x) = 2000 + 250*(x/10) + (x/10)^2
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Ricavo
* "il prezzo unitario di vendita è 45 €" ≡
≡ r(x) = 45*x
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Guadagno
* g(x) = r(x) - c(x) = 45*x - (2000 + 250*(x/10) + (x/10)^2) ≡
≡ g(x) = 8000 - (x - 1000)^2/100 ≡
≡ g(x) = 8000 - (x - 1000)^2/100
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La quantità di massimo profitto è il vertice di g(x):
* g(1000) = 8000 - (1000 - 1000)^2/100 = 8000
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Le quantità per non essere in perdita sono quelle fra gli zeri di g(x):
* 200*(5 - 2*√5) <= x <= 200*(5 + 2*√5) ~≡
~≡ 105.57 <= x <= 1894.4 ≡
≡ x in [106, 1894]

@dillan

non sei più un nuovo membro, dovresti conoscere le regole del sito: un solo esercizio per post. Poi un "grazie", un "per favore"...

Inoltre richiediamo sempre di vedere un tuo tentativo di soluzione.

Questi esercizi buttati lì come hai fatto tu io ci leggo un: "non ho proprio voglia di farli, me li fate voi?"