Ordine dei infintesimi

Si deve determinare il valore di n per cui risulta costante il valore del limite:

LIM(SIN(x)·(e^(2·x) - 1)/x^n) = cost

x---> 0

per n=1, si ha:

LIM(SIN(x)·(e^(2·x) - 1)/x) = 0

x---> 0

questo perché il N(x) è un infinitesimo superiore al D(x) per x--> 0

per n=2 si ha:

LIM(SIN(x)·(e^(2·x) - 1)/x^2) = 2

x---> 0

Quindi la funzione in esame è un infinitesimo di ordine 2

N.B.

LIM(SIN(x)/x) = 1  (limite notevole)

x---> 0

LIM((e^(2·x) - 1)/x) = 2

x---> 0

secondo limite verificabile facilmente con De L'Hopital:

N'(x)/D'(x) =2·e^(2·x)/1

Applichiamo la definizione, determiniamo per quale α reale il limite seguente esiste, è diverso da ∞ e da 0.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sinx (e^{2x} -1)}{x^α} $

Il limite è il prodotto di due limiti notevoli, quindi se poniamo α = 2 si ha

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sinx }{x} \frac{(e^{2x} -1)}{2x} \cdot 2 = 2$    che è un numero reale diverso da zero, quindi

l'ordine di infinitesimo α è eguale a 2.

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f(x) = sin(x)* (e^(2x) - 1)

Poiché lim_x->0 sin(x)/x = 1

e lim_x->0 [e^(2x) - 1]/(2x) = 1

allora in un intorno di zero

sin x ~ x

e^(2x) - 1 ~ 2x

e allora f(x) = x*2x + o(x^2) = 2x^2 + o(x^2)

e l'ordine di infinitesimo (esponente) é 2