Numero 66

Nel triangolo ABC ISOSCELE SULLA BASE BC  il lato obliquo AB e lungo 8a. L'angolo al vertice A e ampio 120°, D è il punto medio di AB e H  è la proiezione sulla base BC del lato obliquo.

Determina sulla base BC un punto P in modo che indicata con K la sua proiezione sul lato AB, l'area del quadrilatero convesso PKDH sia uguale a ka^2.

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Per avere un quadrilatero convesso le coordinate di P devono essere:

P [x, 0] con :

8·a·COS(30°) < x ≤ 8·a/COS(30°)

quindi con:

4·√3·a < x ≤ 16·√3·a/3

Coordinate di D:

[4·a·COS(30°), 4·a·SIN(30°)]

D [2·√3·a, 2·a]

Coordinate di H:

H [4·√3·a, 0]

Calcolo coordinate di K:

BK = x·COS(30°)-----> BK = √3·x/2

[√3·x/2·COS(30°), √3·x/2·SIN(30°)]

K [3·x/4, √3·x/4]

Applico la formula di Gauss per il calcolo dell'area A:

P [x, 0]

K [3·x/4, √3·x/4]

D [2·√3·a, 2·a]

H [4·√3·a, 0]

P [x, 0]

Quindi:

Α = 1/2·ABS((x·√3·x/4 + 3·x/4·2·a + 2·√3·a·0 + 4·√3·a·0) +

- (x·0 + 4·√3·a·2·a + 2·√3·a·√3·x/4 + 3·x/4·0))

Α = 1/2·ABS((√3·x^2/4 + 3·a·x/2) - (3·a·x/2 + 8·√3·a^2))

Α = 1/2·ABS(√3·x^2/4 - 8·√3·a^2)

deve  quindi essere:

1/2·ABS(√3·x^2/4 - 8·√3·a^2) = k·a^2

con 4·√3·a < x ≤ 16·√3·a/3

Per x = 4·√3·a si ha:

√3·(4·√3·a)^2/4 - 8·√3·a^2= 4·√3·a^2 > 0

per cui può togliersi il valore assoluto.

1/2·(√3·x^2/4 - 8·√3·a^2) = k·a^2

√3·x^2/8 - 4·√3·a^2 = k·a^2

k = √3·(x^2 - 32·a^2)/(8·a^2)

Riprendiamo la relazione:

4·√3·a < x ≤ 16·√3·a/3

e vediamo in corrispondenza i valori di K che si hanno:

k = √3·((4·√3·a)^2 - 32·a^2)/(8·a^2)

k = 2·√3

k = √3·((16·√3·a/3)^2 - 32·a^2)/(8·a^2)

k = 20·√3/3

Quindi vale la relazione:

2·√3 < Κ ≤ 20·√3/3

Perché non rileggi il testo? Non si capisce mica? L'area perché deve essere ka^2; come mai compare questo k, visto che un lato misura 8a?

AB = 8a;

angolo in A = 120°?   Allora gli angoli in B e in C misurano 30°;

D = punto medio di AB 

BD = AD = 4a;

DH = BD/2 = 2a perché opposto all'angolo di 30° ;

PKDH è un trapezio rettangolo; DH è parallelo a PK. (Sono le basi);

altezza  h = HP ;

Area = ((DH + PK) * HP / 2;

(2a + PK) * HP / 2 = Area

Quanto deve essere l'area?