[Risolto] Numero 459

Nota prima di tutto che per avere i coefficienti dello sviluppo del binomio ti basta porre $x=1$, dunque calcoliamo la potenza del numero complesso:

$(1+i)^{2009}$

portiamolo in forma trigonometrica:

$ (\sqrt{2}[cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}])^{2009}$

e facciamo la potenza:

$ \sqrt{2}^{2009} [cos\frac{2009\pi}{4}+isin\frac{2009\pi}{4}]$

dovendo prendere solo i coefficienti reali, concentriamoci solo sulla parte reale, tralasciando la parte immaginaria:

$ \sqrt{2}^{2009} \cdot cos\frac{2009\pi}{4} $

Nota che considerando la periodicità del coseno abbiamo:

$\frac{2009\pi}{4} = \frac{2008\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 502\pi + \frac{\pi}{4}= 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

dunque possiamo scrivere

$ \sqrt{2}^{2009} \cdot cos\frac{\pi}{4} $

calcolando il valore del coseno:

$ \sqrt{2}^{2009} \frac{\sqrt{2}}{2} $

e dunque:

$ = \frac{\sqrt{2}^{2010}}{2} = \frac{2^{1005}}{2} = 2^{1004}$

Passiamo al logaritmo:

$ log_2(2^{1004}) = 1004$

Bella domanda, grazie!!

Noemi