Numero 105

L'eguaglianza dichiarata, così com'è scritta, è un'assurdità. Si dovrebbe interpretare, ma non ne vale la pena: i problemi mal posti (anche solo per il linguaggio) non meritano alcun impegno risolutivo. Tanto alla fine spunta fuori un'altra interpretazione che ti vanifica ciò che hai fatto. Lascialo perdere, fai un altro esercizio.

Detto R il raggio delle due sfere, devi risolvere il sistema

h = rad(R^2 - (b/2)^2) - rad(R^2 - (B/2)^2) = rad(5)

teorema di Pitagora e differenza sul tronco di Piramide

b/B = 6/7      (similitudine)

B^2/4 = 7 rad(5) * (2R - 7 rad(5))   secondo teorema di Euclide

Ho scritto la risolvente attraverso le appropriate sostituzioni, ma

non me ne so uscire.

SECONDA RISPOSTA
Misure in cm, cm^2, cm^3.
Simboli riciclati nei diversi paragrafi secondo convenienza.
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"piramide regolare quadrangolare" ≡ piramide P retta a base quadrata di vertice V e altezza h = 7*√5.
La base ABCD ha diagonale d = |AC| = |BD| e lato L = d/√2 (spigolo di base di P).
Il triangolo isoscele ABV ha: base d, altezza h, lato obliquo (spigolo di P) s = √(h^2 + (d/2)^2) = √(d^2 + 980)/2, perimetro p = d + 2*s = d + √(d^2 + 980), area S = d*h/2 = d*7*√5/2, inraggio r = 2*S/p = 7*√5/(1 + √(1 + 980/d^2)), circumraggio R = d*s^2/(4*S) = (d^2 + 980)/(56*√5).
NB: R è il raggio della sfera circoscritta alla piramide P data.
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Tagliando il triangolo isoscele ABV con una retta parallela alla base e distante 6*√5 dal vertice V si forma un trapezio isoscele, quindi inscrivibile, ACNM di altezza h = √5, base maggiore d, base minore |MN| = 6*d/7) e (vedi "Dettagli") circumraggio
* R = √((d^2 + 980)*(169*d^2 + 980))/(392*√5)
NB: R è il raggio della sfera circoscritta al tronco di piramide.
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Per affermare che, scrivendo "L'eguaglianza dichiarata, così com'è scritta, è un'assurdità.", mi sia sfuggita una sciocchezza occorre che ci sia almeno una radice reale positiva dell'equazione che eguaglia i circumraggi
* ((d^2 + 980)/(56*√5) = √((d^2 + 980)*(169*d^2 + 980))/(392*√5)) & (d > 0) ≡
≡ (49*(d^2 + 980)^2 = (d^2 + 980)*(169*d^2 + 980)) & (d > 0) ≡
≡ (169*d^2 + 980 - (49*d^2 + 48020) = 0) & (d > 0) ≡
≡ (120*d^2 - 47040 = 0) & (d > 0) ≡
≡ d = 14*√2
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Verifica
* ((14*√2)^2 + 980)/(56*√5) = √(((14*√2)^2 + 980)*(169*(14*√2)^2 + 980))/(392*√5) ≡
≡ 49*√5/10 = √92236816/(392*√5) ≡
≡ 49*√5/10 = 9604/(392*√5) ≡
≡ 49*√5/10 = 49/(2*√5) ≡
≡ 49*√5/10 = 49*√5/(2*5) ≡
≡ Vero
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MI COSPARGO IL CAPO DI CENERE e ti lascio il piacere di concludere.
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DETTAGLI
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Il circumcentro di un poligono convesso, se esiste, è l'unico punto P(x, y) del piano Oxy equidistante da tutti i vertici e tale comune distanza è il circumraggio R.
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I vertici di un trapezio isoscele, con {a, b, h} valori positivi, siano
* A(- a, 0), B(a, 0), C(b, h), D(- b, h)
e con essi si formi il sistema delle distanze al quadrato
* |PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2 = |PD|^2 = R^2 ≡
≡ (a + x)^2 + y^2 = (a - x)^2 + y^2 = (b - x)^2 + (h - y)^2 = (b + x)^2 + (h - y)^2 = R^2 ≡
≡ (x = 0) & (y = (b^2 - a^2 + h^2)/(2*h)) & (R = √(((a - b)^2 + h^2)*((a + b)^2 + h^2))/(2*h))
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Nel caso del problema si ha
* a = d/2
* b = 3*d/7
* h = √5
* R = √(((a - b)^2 + h^2)*((a + b)^2 + h^2))/(2*h) =
= √(((d/2 - 3*d/7)^2 + 5)*((d/2 + 3*d/7)^2 + 5))/(2*√5) =
= √((d^2 + 980)*(169*d^2 + 980))/(392*√5)