[Risolto] Numeri complessi

 

... basta razionalizzare  ovvero moltiplicare sopra e sotto per 2-i

e sotto applicare  a x^4 = -1 la nota formula esponenziale (***) ... 

 

oppure  ricorda che -1 in modulo e fase (rho,theta)  è 1*exp(i*pi) {o anche i² per def}

quindi  x^4 = i²  ---> x^2 =+- i ---> x0^2 = +1exp(i*pi/2)    e    x1^2 = -1exp(i*pi/2)= 1*exp(i*pi)exp(i*pi/2) = 1*exp(i*3pi/2) ---> x01 = +1exp(i*pi/4)  ; x02 = -1exp( i*pi/4)= 1*exp(i*pi)exp( i*pi/4) = 1*exp( i*5pi/4)     e       x11 = +1*exp(i*3pi/4)  ; x12 = - 1*exp(i*3pi/4)= 1*exp(i*pi)*exp(i*3pi/4) = 1*exp(i*7pi/4)

 

poi puoi passare alla forma algebrica ricordando Eulero...

 

rho*e^(i*theta) = rho*costheta + i*rho*sentheta

x01 = +1exp(i*pi/4) = 1*sqrt2/2 + i*sqrt2/2 

x02 = 1*exp( i*5pi/4)  = -1*sqrt2/2 - i*sqrt2/2 

x11 = +1*exp(i*3pi/4) = -1*sqrt2/2 + i*sqrt2/2

x12 = +1*exp(i*7pi/4) = +1*sqrt2/2 - i*sqrt2/2

 

• ... e ,siccome NULLA cambia, aggiungendo ad ogni fase 2pi , tali soluzioni in forma esponenziale sono solo quelle al primo giro 

***

https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/numeri-complessi/761-potenze-di-numeri-complessi.html

Scrivi z^4 = -1 = e^(i TT)

e utilizzi la formula di De Moivre

z[k] = rad_4 (1) * exp( i * (TT + 2k TT)/4 )    k = 0,1,2,3

 

zo = e^(i TT/4) = cos TT/4 + i sin TT/4

z1 = e^(i 3/4 TT) = cos 3TT/4 + i sin 3TT/4

z2 = e^(i 5/4 TT) = cos 5/4 TT + i sin 5/4 TT

z3 = e^(i 7/4 TT) = cos 7/4 TT + i sin 7/4 TT

 

e, posto r = rad(2)/2,

zo = r (1 + i )

z1 = r (-1 + i )

z2 = r (-1 - i )

z3 = r ( 1 - i )

1a) z = (7 - i*2)/(2 + i) =
= (7 - i*2)*(2 - i)/((2 + i)*(2 - i)) =
= (12 - i*11)/(4 + 1) =
= (12/5 - i*11/5)
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1b) Gli zeri richiesti sono le radici dell'equazione
* x^4 + 1 = 0
cioè le quattro radici quarte di meno uno le quali, nel piano di Argand-Gauss, sono le intersezioni fra la circonferenza di raggio uno centrata nell'origine e le diagonali dei quadranti.
* x^4 + 1 = 0 ≡
≡ x^4 = - 1 ≡
≡ √(x^4) = √(- 1) ≡
≡ x^2 = ± i ≡
≡ x = ± √(± i) = ± √(- i) oppure ± √(+ i) =
= ± (1/√2 - i/√2) oppure ± (1/√2 - i/√2) =
= (- 1/√2 + i/√2) oppure (1/√2 - i/√2) oppure (- 1/√2 + i/√2) oppure (1/√2 - i/√2) =
= (± 1/√2 ± i/√2)
Verifica al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%28-1%2F%E2%88%9A2%2Bi%2F%E2%88%9A2%29%2C%281%2F%E2%88%9A2-i%2F%E2%88%9A2%29%2C%28-1%2F%E2%88%9A2%2Bi%2F%E2%88%9A2%29%2C%281%2F%E2%88%9A2-i%2F%E2%88%9A2%29%7D%5E4