Numeri complessi

Ex prof ti ha appena fatto capire perché i numeri complessi son chiamati così : se fossero semplici non avrebbe senso chiamarli complessi, non ti pare ?🤭

Lascio per ultima la tua domanda, prima tratto la dimostrazione del "Problem 2" e prima ancora la mia simbologia un po' diversa dalla sua perché uso il meno possibile simboli pluricarattere.
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A) Numeri complessi.
Con
* x, y, ρ, θ reali
* (ρ > 0) & (0 <= θ < 2*π)
si ha
* z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ)) = [ρ, θ]
* Re[z] = x
* Im[z] = y
* z' = x - i*y
* |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
* arg(z) = θ
** x < 0: θ = π + arctg(y/x)
** x = 0, y < 0: θ = 3*π/2
** x = 0, y > 0: θ = π/2
** x > 0: θ = arctg(y/x)
* 1/z = z'/(z*z') = z'/|z|^2
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B) Problem 2: Dimostrare che, per w = a + i*b e z = x + i*y,
* (|w| = |z| = 1) & (w*z != - 1) ⇒ Im[A] = Im[(w + z)/(1 + w*z)] = 0
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"Using ... Likewise z' = 1/z" ≡
≡ (|w| = |z| = 1) & (1/z = z'/|z|^2 = z'/1^2) ⇒ (w' = 1/w) & (z' = 1/z)
e non credo che sia stato questo passaggio a provocare il tuo sconcerto.
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"A' = ... = A" scrive il coniugato dell'espressione come la stessa espressione degli operandi coniugati.
E credo che sia stato questo secondo passaggio a provocare il tuo sconcerto.
Allora, piuttosto che star lì a dimostrare la liceità del passaggio sintetico, raggiungi lo scopo con la solita procedura pedissequa; però avendo presente che
* |w| = |z| = 1 ≡ |w|^2 = |z|^2 = 1 ≡ a^2 + b^2 = x^2 + y^2 = 1.
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* A = (w + z)/(1 + w*z) = ((a + i*b) + (x + i*y))/(1 + (a + i*b)*(x + i*y)) =
= ((a + x) + i*(b + y))/((a*x - b*y + 1) + i*(a*y + b*x)) =
= ((a + x) + i*(b + y))*((a*x - b*y + 1) - i*(a*y + b*x))/(((a*x - b*y + 1) + i*(a*y + b*x))*((a*x - b*y + 1) - i*(a*y + b*x))) =
= ((a*(x^2 + y^2) + (a^2 + b^2 + 1)*x + a) - i*(b*(x^2 + y^2) + (a^2 + b^2 - 1)*y - b))/((a^2 + b^2)*x^2 + (a^2 + b^2)*y^2 + 2*(a*x - b*y) + 1) =
= ((a + 2*x + a) - i*(b - b))/(2*(a*x - b*y) + 1) =
= 2*(a + x)/(2*(a*x - b*y) + 1)
che è proprio un valore reale.
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C) La tua domanda.
Spiegare perché per dimostrare che un numero complesso esiste devo dimostrare che è uguale al coniugato.
Non è così.
Dimostrare che un numero complesso è uguale al suo coniugato non vuol dire "che esiste", vuol dire che è reale: cioè che ha parte immaginaria nulla. Infatti
* z = z' ≡ x + i*y = x - i*y ≡ x + i*y - (x - i*y) = 0 ≡ i*2*y = 0 ≡ y = 0

Ogni numero reale é un complesso uguale al suo coniugato.

x + iy = x - iy =>   x qualsiasi e y = 0.

Era questo che volevi dire ? Il resto della dimostrazione é chiarissimo.