[Risolto] Non riesco a risolvere la 625

Con l'esclusione x ∉ {0, 2} per non annullare denominatori, questi sono positivi e perciò si può lecitamente moltiplicare membro a membro per il loro prodotto (|x|*|x - 2| = |x*(x - 2)|) senza mutare la diseguaglianza.
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A) 1/|x| - 1/|x - 2| >= 2 ≡
≡ |x - 2| - |x| >= 2*|x*(x - 2)| ≡
≡ |x - 2| >= 2*|x*(x - 2)| + |x| ≡
≡ (x - 2 <= - 2*|x*(x - 2)| - |x|) oppure (2*|x*(x - 2)| + |x| <= x - 2)
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B1) x - 2 <= - 2*|x*(x - 2)| - |x| ≡
≡ |x| <= 2 - x - 2*|x*(x - 2)| ≡
≡ (- 2 + x + 2*|x*(x - 2)| <= x) & (x <= 2 - x - 2*|x*(x - 2)|) ≡
≡ (|x*(x - 2)| <= 1) & (|x*(x - 2)| <= 1 - x) ≡
≡ (- 1 <= x*(x - 2)) & (x*(x - 2) <= 1) & (x - 1 <= x*(x - 2)) & (x*(x - 2) <= 1 - x) ≡
≡ ((x - 1)^2 >= 0) & ((x - 1)^2 - 2 <= 0) & ((x - 3/2)^2 - 5/4 >= 0) & ((x - 1/2)^2 - 5/4 <= 0) ≡
≡ (ovunque) & ((x - 1)^2 <= 2) & ((x - 3/2)^2 >= 5/4) & ((x - 1/2)^2 <= 5/4) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= 1 + √2) & ((x <= (3 - √5)/2) oppure (x >= (3 + √5)/2)) & ((1 - √5)/2 <= x <= (1 + √5)/2) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= 1 + √2) & ((1 - √5)/2 <= x <= (1 + √5)/2) & ((x <= (3 - √5)/2) oppure (x >= (3 + √5)/2)) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= (1 + √5)/2) & ((x <= (3 - √5)/2) oppure (x >= (3 + √5)/2)) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= (1 + √5)/2) & (x <= (3 - √5)/2) oppure (1 - √2 <= x <= (1 + √5)/2) & (x >= (3 + √5)/2) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= (3 - √5)/2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= (3 - √5)/2)
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B2) 2*|x*(x - 2)| + |x| <= x - 2 ≡
≡ |x| <= x - 2 - 2*|x*(x - 2)| ≡
≡ (2*|x*(x - 2)| + 2 - x <= x) & (x <= x - 2 - 2*|x*(x - 2)|) ≡
≡ (|x*(x - 2)| <= x - 1) & (|x*(x - 2)| <= - 1) ≡
≡ ((1 - x <= x*(x - 2)) & (x*(x - 2) <= x - 1)) & (insieme vuoto) ≡
≡ (1 - x - x*(x - 2) <= 0) & (x*(x - 2) - (x - 1) <= 0) ≡
≡ (5/4 - (x - 1/2)^2 <= 0) & ((x - 3/2)^2 - 5/4 <= 0) ≡
≡ (5/4 <= (x - 1/2)^2) & ((x - 3/2)^2 <= 5/4) ≡
≡ ((x <= (1 - √5)/2) oppure (x >= (1 + √5)/2)) & ((3 - √5)/2 <= x <= (3 + √5)/2) ≡
≡ (x <= (1 - √5)/2) & ((3 - √5)/2 <= x <= (3 + √5)/2) oppure (x >= (1 + √5)/2) & ((3 - √5)/2 <= x <= (3 + √5)/2) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure ((1 + √5)/2 <= x <= (3 + √5)/2) ≡
≡ ((1 + √5)/2 <= x <= (3 + √5)/2)
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B3) (x - 2 <= - 2*|x*(x - 2)| - |x|) oppure (2*|x*(x - 2)| + |x| <= x - 2) ≡
≡ (1 - √2 <= x <= (3 - √5)/2) oppure ((1 + √5)/2 <= x <= (3 + √5)/2)
insieme che è più ampio del risultato atteso; devi rivedere lo sviluppo B2.
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Memorandum
I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}.
Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.