L'esercizio 418 propone una cascata di problemi, più o meno impegnativi.
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1) Dati T(1, 3) e C(- 2, 0) calcolarne il quadrato della distanza (cioè del raggio della circonferenza).
* |CT|^2 = r^2 = 18
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2) La circonferenza Γc di centro C(- 2, 0) e raggio r = |CT| è
* Γc ≡ (x + 2)^2 + y^2 = 18 ≡
≡ x^2 + y^2 + 4*x - 14 = 0
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3) Sdoppiare la forma canonica di Γc rispetto a T(1, 3) genera t
* t ≡ x*1 + y*3 + 4*(x + 1)/2 - 14 = 0 ≡
≡ y = 4 - x
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4) La generica parabola non degenere con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
appartiene al fascio
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
fra queste quelle per A(- 1, 9) e per T(1, 3), devono soddisfare ai vincoli d'appartenenza
* (9 = h + a*(- 1 - w)^2) & (3 = h + a*(1 - w)^2) ≡
≡ (h = - (4*(a - 3)^2 - 27)/(4*a)) & (w = 3/(2*a))
da cui
* vertice V(3/(2*a), - (4*(a - 3)^2 - 27)/(4*a))
* fascio Γ(a) ≡ y = a*(x - 3/(2*a))^2 - (4*(a - 3)^2 - 27)/(4*a)
e queste, facendone sistema con t,
* (y = 4 - x) & (y = a*(x - 3/(2*a))^2 - (4*(a - 3)^2 - 27)/(4*a))
danno la risolvente
* a*x^2 - 2*x - a + 2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = 4*(a - 1)^2 = 0 ≡ a = 1
da cui infine la parabola richiesta
* Γp ≡ y = (x - 3/2)^2 + 11/4 ≡ y = x^2 - 3*x + 5
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5a) (x = k) & (y = x^2 - 3*x + 5) ≡ P(k, k^2 - 3*k + 5)
5b) (x = k) & (y = 4 - x) ≡ Q(k, 4 - k)
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6) L'area S(k) del triangolo PQT è
* S(k) = |yP - yQ|*|xT - k|/2 =
= |k^2 - 3*k + 5 - (4 - k)|*|1 - k|/2 =
= |1 - k|^3/2 = 108 ≡
≡ |1 - k|^3 = 216 = 6^3 ≡
≡ |1 - k| = 6 ≡
≡ (k = - 5) oppure (k = 7)
da cui le rette
* (x = - 5) oppure (x = 7)
