[Risolto] N 91 non mi torna ma non capisco dov'è l'errore

Es. n. 91

Vedi immagine allegata

Se mostri la tua risoluzione forse ti possiamo dire dove hai sbagliato.

x^2/α + y^2/β = 1

avendo posto α = a^2 ; β = b^2

si tratta quindi di imporre il passaggio per [-3, 0] ed [√5, 2/3]:

{(-3)^2/α + 0^2/β = 1

{√5^2/α + (2/3)^2/β = 1

Quindi dalla prima:

{9/α = 1----> α = 9

{5/α + 4/(9·β) = 1----> 5/9 + 4/(9·β) = 1---> β = 1

quindi:

x^2/9 + y^2 = 1

L'esercizio 91 chiede di scrivere le equazione delle ellissi reali che passano per P(- 3, 0) e per Q(√5, 2/3).
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In cima alla pagina di cui hai fotografato solo un pezzetto CI DEV'ESSERE SCRITTO che "ellisse" significa "ellisse riferita ai propri assi" in modo che il sistema delle due condizioni d'appartenenza di P(- 3, 0) e Q(√5, 2/3) possa determinare i due soli parametri della forma
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
dell'equazione dell'ellisse riferita ai propri assi.
Se questo fosse un tema d'esame (dove per evitare bocciature non si deve fare la minima interpretazione non richiesta) mi limiterei a dichiarare che, senza ulteriori specificazioni, si deve usare la definizione dell'ellisse che inizia dall'equazione della generica conica
* Γ ≡ a*x^2 + 2*b*x*y + c*y^2 + 2*p*x + 2*q*y + r = 0
ne calcola gl'invarianti
* I1 = a + c
* I2 = a*c - b^2
* I3 = a*(c*r - q^2) + b*(2*d*q - b*r) - c*d*p
e infine pone le condizioni affinché Γ sia un'ellisse reale
* (I2 > 0) & (I1*I3 < 0) ≡
≡ (a*c > b^2) & ((a + c)*(a*(c*r - q^2) + b*(2*d*q - b*r) - c*d*p) < 0) ≡
≡ (a > 0) & (c > b^2/a) & (r < (a*q^2 - d(2*b*q - c*p))/(a*c - b^2))
oppure
≡ (a < 0) & (c < b^2/a) & (r > (a*q^2 - d(2*b*q - c*p))/(a*c - b^2))
Quindi il sistema delle condizioni d'appartenenza di P e Q, determinando solo due dei sei parametri {a, b, c, p, q, r}, condurrebbe a una quadruplice infinità delle ellissi richieste.
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Invece, ammettendo l'arbitraria ipotesi della specificazione in cima alla pagina, si ha il sistema delle condizioni d'appartenenza e delle positività dei semiassi
* ((- 3/a)^2 + (0/b)^2 = 1) & ((√5/a)^2 + ((2/3)/b)^2 = 1) & (a > 0) & (b > 0) ≡
≡ (a = 3) & (b = 1)
da cui
* Γ ≡ (x/3)^2 + y^2 = 1
che è proprio il risultato atteso