[Risolto] n 794

GRANDE RIPASSO PRELIMINARE (l'esercizio inizia dopo 59 accapo, al §60)
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All'occorrenza uso i seguenti operatori, simboli o parole chiave.
* unione : "||" o "|" o "oppure"
* intersezione : "&"
* implicazione : "→" o "==>"
* equivalenza : "≡" o "sse (se e solo se)"
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A) Gli operatori di relazione sono:
* uno di eguaglianza ("=")
* e cinque di diseguaglianza; di questi
** uno è generico ("!=" o "<>"),
** due sono d'ordine lasco ("<=" e ">="),
** due sono d'ordine stretto ("<" e ">").
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L'operatore controverso "opC(opO)" di uno d'ordine "opO" è l'altro membro della coppia di "opO".
Il controverso di uno non d'ordine "opNO" è se stesso: "opC(opNO) = opNO".
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B) Una dis/equazione è una formula composta di due espressioni (membri) separate da un operatore relazionale (OP): "dis/equazione ≡ primoMembro OP secondoMembro".
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C) Una dis/equazione è in forma canonica se "secondoMembro = 0".
Una qualsiasi "primoMembro OP secondoMembro" si riduce a forma canonica in uno dei due modi:
C1) (primoMembro - secondoMembro) OP 0
C2) (secondoMembro - primoMembro) opC(OP) 0
NB: il modo C2, nei libri, è descritto da "cambiando segno, la diseguaglianza s'inverte".
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D) La singola soluzione di una dis/equazione è l'insieme di tutti i valori che la rendono vera.
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E1) Nelle dis/equazioni canoniche (espressione dis/eguaglianza zero ≡ "E OP 0") in cui "espressione" sia un prodotto (in quelle fratte ci sono fattori di forma 1/(qualcosa)) si studia il segno del primo membro "espressione" in quanto prodotto.
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Quindi, per risolvere le dis/equazioni "prodotto relazione zero" ≡ "P OP 0", bastano le regolette:
E1a) P < 0 se e solo se è < 0 un NUMERO DISPARI di fattori e nessuno è zero;
E1b) P = 0 se e solo se è = 0 ALMENO un fattore;
E1c) P > 0 se e solo se è < 0 un NUMERO PARI (anche zero) di fattori e nessuno è zero.
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E2) Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0,
E2a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) || ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
E2b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
E2c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) || ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
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F) I diversi casi nelle dis/equazioni con i moduli abs(f(x)) o |f(x)| sono essenzialmente tre.
Il trattamento vale in generale per ogni forma di funzione f(x).
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F1) Si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
F1a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
F1b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
F1c) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
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F2) Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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G) Anche per le espressioni con più radicali (subespressioni con esponente frazionario) si applica la sequenza {isolare, sdoppiare}, vedi ai link
http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione
http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione_irrazionale
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Con una cautela finale supplementare: se, anche in uno solo degli sdoppiamenti, il radicale eliminato ha indice (denominatore dell'esponente frazionario) pari, allora è possibile che le quadrature introducano soluzioni spurie.
Alla fine dell'elaborazione risolutiva si deve depurare da esse l'insieme delle soluzioni.
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ESERCIZIO (equazione fratta con più valori assoluti: da A fino a F2.)
L'equazione
794) 1/|x^2 - 6*x + 9| + 1/|x - 3| = 2/(4 - x)
è definita sse
* (x^2 - 6*x + 9 != 0) & (x - 3 != 0) & (4 - x != 0) ≡ x non in {3, 4}
in quanto x^2 - 6*x + 9 = (x - 3)^2
Con la riserva di una verifica finale per escludere quei due valori si può procedere a {isolare, sdoppiare}.
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794) 1/|x^2 - 6*x + 9| + 1/|x - 3| = 2/(4 - x) ≡
≡ 1/|(x - 3)^2| + 1/|x - 3| = 2/(4 - x) ≡
≡ 1/(x - 3)^2 + 1/|x - 3| = 2/(4 - x) ≡
≡ 1/|x - 3| = 2/(4 - x) - 1/(x - 3)^2 ≡
≡ (1/(x - 3) = 1/(x - 3)^2 - 2/(4 - x)) oppure (1/(x - 3) = 2/(4 - x) - 1/(x - 3)^2) ≡
≡ (1/(x - 3)^2 - 2/(4 - x) - 1/(x - 3) = 0) oppure (2/(4 - x) - 1/(x - 3)^2 - 1/(x - 3) = 0) ≡
≡ (x^2 - 4*x + 2 = 0) oppure (3*x^2 - 18*x + 26 = 0) ≡
≡ (x = 2 ± √2) oppure (x = 3 ± 1/√3)
Verifica finale
Nessuna delle quattro radici è nell'insieme da escludere.