[Risolto] n. 60

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60)

$4x = -x^2$

$x^2+4x = 0$

equazione spuria, quindi raccogli:

$x(x+4) = 0$

per cui:

$x_1 → x=0$

$x_2 → x+4 = 0 → x= -4$

Oggi è martedì 2 aprile 2024 ed è da stamattina che guardo telefilm, faccio un solitario qua e là, gironzolo su Quora, leggo Camilla Läckberg, assumo le terapie del mattino, mi preparo un caffè fresco (non più del Nicaragua, ahimè! Non si riesce più ad arrivare fin da AltroConsumo.), gusto una fettina della splendida pastiera fatta da moglie e cognate (pastafrolla al burro, ahimè! Non si riesce più ad avere quella tradizionale fatta con lo strutto: squisita, ma inadatta agli ultraottantenni con cardiopatia cronica, mi dicono. Se sarò sopravvissuto per altri tre mesi mi troverò ad essere più vicino ai novanta che agli ottanta!) e tutte queste cose sempre dando un'occhiata qui per vedere se arriva una domanda in qualche modo sfiziosa: macché, calma piatta! Non leggo nulla che m'attizzi un pochino.
Però ora mi sono stufato sia della TV che della svedese di successo, così riprendo un po' di domande
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/191541/ (3*x^2 + 3*x = 0)
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/191542/ (x^2 - 2*x = 0)
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/191544/ (x^2/2 - 16 = 0)
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/191558/ (k*x^2 + 3 = 0 → X1 = 1/2, X2 = ?)
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/191559/ (4*x = - x^2)
che ieri avevo scavalcato con un saltino (ma a questa povera Elena non hanno spiegato che non deve attaccarsi alla casistica se prima non ha visto il quadro generale?), e decido di darglielo io il quadro generale (avrò da fare per un bel po', fra scrivere e riaggiustare).
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Equazioni razionali intere di grado due.
Ogni equazione razionale intera nella variabile reale x si può portare, con opportune operazioni, alla forma normale canonica monica che ha a primo membro un polinomio monico p(x), ordinato e ridotto, e al secondo membro zero.
Se il monomio monico è di secondo grado e i coefficienti sono reali allora l'equazione ha la forma generale
* p(x) = x^2 - s*x + p = 0
che, secondo l'azzerarsi dei due coefficienti, assume quattro forme diverse con diverse procedure risolutive.
0) (s = 0) & (p = 0) → x^2 = 0 ≡ due radici reali coincidenti (una doppia): x = 0.
1) (s = 0) & (p ≠ 0) → x^2 + p = 0 ≡ due radici distinte: x = ± √(- p), reali o immaginarie secondo il segno di p.
2) (s ≠ 0) & (p = 0) → x^2 - s*x = 0 ≡ due radici distinte reali: (x = 0) oppure (x = s).
3) (s ≠ 0) & (p ≠ 0) → x^2 - s*x + p = 0 ≡ ≡ due radici: x = (s ± √(s^2 - 4*p))/2, reali (distinte o coincidenti) oppure complesse e coniugate secondo il segno di "s^2 - 4*p".
Esercizi proposti.
Solo uno dei cinque è in forma generale, quindi gli altri occorre anzitutto portarceli.
191541) 3*x^2 + 3*x = 0 ≡ x^2 + x = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = - 1), Tipo 2.
191542) x^2 - 2*x = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = 2), Tipo 2.
191544) x^2/2 - 16 = 0 ≡ x^2 - 32 = 0 ≡ x = ± √32 = ± 4*√2, Tipo 1.
191559) 4*x = - x^2 ≡ x^2 + 4*x = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = - 4), Tipo 2.
Per l'equazione con le indeterminate
191558) k*x^2 + 3 = 0 → X1 = 1/2, X2 = ?
occorre una distinzione di casi:
* per k = 0 l'equazione è di grado zero (3 = 0) impossibile;
* per k != 0 l'equazione è di grado due, Tipo 1; cioè
191558) k*x^2 + 3 = 0 ≡ x^2 + 3/k = 0 ≡ x = ± √(- 3/k)
Il vincolo di dover avere X1 = 1/2 implica X2 = - 1/2 (- 3/k = 1/4 ≡ k = - 12).