[Risolto] Moto rettilineo e teorema di lagrange

@karim

Ciao.

La legge oraria è data da una funzione polinomiale: s =15t(t+1)^2 

 

che garantisce la continuità assieme alle sue derivate. Tale funzione è una cubica definita su tutto R, in particolare per t ≥ 0. 

La derivata di tale funzione che esprime la velocità, è data da s'=ds/dt=v=15·(t + 1)·(3·t + 1)

che risulta pertanto, per t ≥ 0 sempre positiva.

Anche la derivata seconda, che esprime l'accelerazione: s''=dv/dt=a=30·(3·t + 2) per t ≥ 0 é sempre positiva. Quindi la legge oraria è data da un tratto sempre crescente con la concavità verso l'alto.

Per t=0 : s=0

Per s=1500 m risulta: 1500 = 15·t·(t + 1)^2 

100 = t·(t + 1)^2-----> t^3 + 2·t^2 + t - 100 = 0 con t  espresso in minuti.

Risulta: per t=4: 4^3 + 2·4^2 + 4 - 100= 0

quindi vuol dire che la funzione è divisibile per (t-4):

(t^3 + 2·t^2 + t - 100)/(t - 4)= t^2 + 6·t + 25

Essendo: Δ/4 = 3^2 - 25 ----->Δ/4 = -16<0 risulta t^2 + 6·t + 25 >0  sempre

Quindi per t=4 minuti il veicolo elettrico ha percorso esattamente 1500 m

Essendo la velocità media data da Vm = s/t =1500/4 = 375 m/min, per le caratteristiche dette sopra della legge oraria , necessariamente si deve trovate un tempo t , nell'intervallo di tempo considerato, cioè per

0<t<4 min una velocità istantanea pari alla velocità media, per il Teorema di Lagrange. Verifichiamo:

15·(t + 1)·(3·t + 1)=375   ---->(t + 1)·(3·t + 1) - 25=0

3·t^2 + 4·t - 24 = 0 che fornisce due soluzioni: t = - 2·√19/3 - 2/3 ∨ t = 2·√19/3 - 2/3

La prima da scartare perché negativa , la seconda vale :t = 2.239 min

 

 

 

 

 

Dalla legge oraria
* s(t) = 15*t*(t + 1)^2
si ricava la velocità
* v(t) = (15*(3*t + 4))*t + 15 = 45*(t + 2/3)^2 - 5 = 45*(t + 1)*(t + 1/3)
che ha forma parabolica con
* vertice V(- 2/3, - 5)
* zeri (t = - 1) oppure (t = - 1/3)
quindi per t >= 0 è monotòna crescente, a partire da v(0) = 15 m/min = 1/4 m/s.
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Il percorso è di 1500 m al minuto T > 0 per cui si ha
* (s(T) = 15*T*(T + 1)^2 = 1500) & (T > 0) ≡
≡ (T*(T + 1)^2 = 100) & (T > 0) ≡
≡ T = 4 min
e la velocità media risulta
* V = (1500 m)/(4 min) = 375 m/min = 25/4 m/s > 1/4 m/s
Quindi sì, si ha
* v(t > 0) = V ≡ (15*(3*t + 4))*t + 15 = 375 ≡
≡ t = (2/3)*(√19 - 1) ~= 2.24 min
cioè
≡ t = 40*(√19 - 1) ~= 134.356 s
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D375%2Cy%3D%2815*%283*x%2B4%29%29*x%2B15%5Dx%3D-1%2F3+to+4