[Risolto] Moto parabolico con velocità iniziale obliqua

1)

Velocità lungo l'asse verticale $v_{0y}= v_0·sen(60°) = 8,7·0,866 ≅ 7,534~m/s$;

altezza massima $h_{max}= \frac{v_{0y}~^2}{2g} = \frac{7,534^2}{2·9,8066} ≅ 2,9~m$;

tempo $t= \frac{v_{0y}}{g} = \frac{7,534}{9,8066} ≅ 0,768~s$.

2)

Metà altezza massima $\frac{h}{2} = \frac{2,9}{2} = 1,45~m$;

in questo caso, per il tempo, applico la seguente formula:

$v_{0y}·t~-\frac{t^2}{2g}= S_y$

$7,534t~-\frac{t^2}{2·9,8066} = 1,45$

$7,534t~-\frac{t^2}{19,613} = 1,45$

$147,76t~-t^2 = 28,44$

riordina ed eguaglia a zero:

$-t^2~+147,76~-28,44 = 0$

cambia i segni:

$t^2~-147,76~+28,44 = 0$

applica la formula risolutiva con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= -147,76$;

$c= 28,44$;

$∆= (-147,76)^2~-4·1·28,44 = 21833,02~-113,76 = 21719,26$;

$t_{1,2}= \frac{-(-147,76)~±\sqrt{∆}}{2·1} = \frac{147,76~±\sqrt{21719,26}}{2} = \frac{147,76~±147,37}{2}$;

risultati:

$t_1= \frac{147,76~-147,37}{2} = 0,195$;

$t_2= \frac{147,76~+147,37}{2} = 147,565$;

ovviamente prendiamo $t_1= 0,195~s$.

Utilizzi la legge oraria del moto lungo l'asse y

s=s0 + vo_y * t - 1/2 g*t²

s-s0 = hmax /  2

dove hmax è il valore che hai precedentemente trovato.

Risolvi l'equazione

hmax /2 = v0_y *t - 1/2g* t²

rispetto al tempo. Troverai due valori di t.

Prendi il più piccolo 

NESSUN PALLONE MAI PERCORRERA' TRAIETTORIE PARABOLICHE.
Un problema di fisica non può suggerire di trascurare nulla che non sia trascurabile (in quest'esercizio con l'aggravante di non dirlo esplicitamente): e la resistenza dell'aria, per un oggetto sferico (Cx ~= 0.5) di grande sezione (S ~= 400 cm^2) e leggerissimo (m ~= 600 g) altro che trascurabile, è una bella frazione della forza di lancio! Per non avere forze d'attrito viscoso si deve dire "punto materiale" e non "pallone": in tal caso si ha un lecito problema di cinematica.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione (0, h), con velocità di modulo V m/s e alzo θ (con h >= 0, V > 0 e θ in [- π/2, π/2]), nel primo quadrante di un riferimento Oxy soggetto a gravità terrestre ha un moto parabolico governato da
* vx(t) = V*cos(θ)
* x(t) = V*cos(θ)*t
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
cioè ha
* posizione istantanea P(x(t), y(t))
* velocità istantanea v(t) = (vx(t), vy(t))
La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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NEL CASO IN ESAME
Con
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* h = 0 m
* V = 8.7 = 87/10 m/s
* θ = 60° = π/3
si ha
* sin(θ) = √3/2
* cos(θ) = 1/2
* vx(t) = 87/20
* x(t) = (87/20)*t
* vy(t) = (87/20)*√3 - g*t
* y(t) = ((87/20)*√3 - (g/2)*t)*t
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Nell'istante T in cui vy(T) = 0, il valore di y(T) è la massima altezza M raggiunta.
* vy(T) = (87/20)*√3 - g*T = 0 ≡ T = (87/20)*√3/g
* M = y(T) = ((87/20)*√3 - (g/2)*(87/20)*√3/g)*(87/20)*√3/g =
= 22707/(800*g) ~= 2.894 ~= 2.89 ~= 2.9 m
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La metà dell'altezza massima
* m = M/2 = 22707/(1600*g)
si attraversa prima in salita e poi in discesa nelle due radici dell'equazione
* y(t) = ((87/20)*√3 - (g/2)*t)*t = 22707/(1600*g) ≡
≡ (t = (87*√3)*(2 - √2)/(40*g)) oppure (t = (87*√3)*(2 + √2)/(40*g)) ~≡
~≡ (t ~= 0.225 s) oppure (t ~= 1.312 s)
con un ritardo di
* Δt ~= 1.0865 s

Un pallone viene lanciato con una velocità di Vo = 8.7 m/s e con un'inclinazione di 60° rispetto al suolo.

1) Determina la massima altezza h che il pallone può raggiungere.

Componente verticale Voy della velocità iniziale Vo :

Voy = Vo*sen 60° = 8,7/2*√3 m/sec 

conservazione dell'energia : m/2*Voy^2 = m*g*h

la massa m si semplifica

h = Voy^2/2g = (8,7/2*√3)^2/19,612 = 2,895 m

2) Determina quando il pallone si trova a metà dell'altezza massima h'.

h/2 = Voy*t-g/2*t^2

2,895 = 2*8,7/2*√3*t-9,806t^2

2,895 -15,07t+9,806t^2 = 0 

t = (15,07±√15,07^2-2,895*4*9,806)/19,612 = (1,312 ; 0,225) sec  (1,312 sec è in fase di discesa, 0,225 sec è in fase di salita)