Monotonia e Concavità

i) Funzione

$ y(x) = \frac{ln^2 x}{x} $

• Dominio = (0, +∞)
  • La funzione è continua e derivabile laddove definita.
  • Un solo punto di discontinuità per x = 0

ii) Derivata prima

$ y'(x) = \frac{(2-lnx)ln x}{x^2} $

• Zeri ovvero punti stazionari
  • ln x = 0  ⇒   x = 1
  • lnx  = 2   ⇒  x = e²
• Segno derivata prima

0______1___________e²____

----------0++++++++++++++   lnx

+++++++++++++++0--------   lnx - 2

----------0++++++++0---------   y'(x) 

....↘......=........↗.......=.....↘.....   y(x)

1. y'(x) < 0  in (0, 1) e in (e², +∞). La funzione è ivi monotona strettamente decrescente 
2. y'(x) > 0  in (1, e²). La funzione è ivi monotona strettamente crescente
3. y'(x) = 0 dalla monotonia deduciamo che
   1. per x =1 si ha un minimo relativo/assoluto N(1, 0)
   2. per x = 4 si ha un massimo relativo M(4, 4/e²)

ii) Derivata seconda

y"$(x) = \frac{2(ln^2 \, x -3ln \, x +1)}{x^3} $

• Zeri. y"(x) = 0 in
  • $ x_1 = e^{(3-\sqrt{5})/2}$
  • $ x_2 = e^{(3+\sqrt{5})/2}$

• Segno derivata seconda

0______1_x₁____e²_________x₂______

+++++++0----------------------0+++++   y"(x)

......∪.......≠............∩.............≠....∪.....    y(x)

1. y(x) < 0  in (x₁, x₂). La funzione è ivi concava. nota: conferma che e² è un punto di massimo
2. y(x) > 0  in (0, x₁) e in (x₂, +∞). La funzione è ivi convessa.   nota: conferma che 1 è un punto di minimo
3. y(x) = 0  per x₁ e per x₂. Sono due punti di flesso visto che oltre aver nulla la derivata seconda è frontiera per due intervalli di diverse concavità.