mi aiutate a risolvere questi quesiti

Per il Regolamento SOS Matematica è possibile richiedere un solo quesito per domanda.

Problema:

Sia $I_n=[-\arctan n, e^{-\frac{1}{n}}]$, $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Allora $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$ è uguale a:

a. $(-\frac{\pi}{2},0]$

b. $[-\frac{\pi}{2},0]$

c. $[-\frac{\pi}{2},0)$

d. $(-\frac{\pi}{2},0)$

e. Nessuna delle altre affermazioni è corretta.

Soluzione:

Conviene prima studiare cosa combina $\arctan n$, per $n$ naturale. Dal grafico è noto che quando $n \to +\infty$ la funzione tende a $\frac{π}{2}$, però non lo tocca mai, quindi si possono escludere i punti $b,c$. Per $n=1$ si ha che $\arctan n = \frac{\pi}{4}$

Adesso si studia $e^{\frac{-1}{n}}$, quando $n \to +\infty$ si ha che questa funzione tende a $e^{0}$, ossia ad $1$, quando $n=1$ vale $e^{-1} \approx 0.38$. Poiché $n=0$ è escluso, questo è il valore più piccolo possibile ammesso dalla funzione. 

È necessario trovare l'intersezione di tutti questi intervalli: poiché questi sono incapsulati essa è pari all'intervallo più piccolo possibile, $I_1 \subset I_2 \subset ...$, ma questo è $[-\frac{\pi}{4}, e^{-1}]$. Quindi la risposta corretta è l'opzione (e).

La prossima volta leggi e applica le norme del regolarmento, se vuoi  ottenere le risposte ai quesiti

Soluzione quesiti

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f'(x) = 1/x - 1/x^2 - 2 = 1/x^2 * (x - 2x^2 - 1) =

= -1/x^2 * (2x^2 - x + 1) = -1/x^2 (x^2 + x^2 - x + 1) < 0

di conseguenza é sempre decrescente in [0, +oo[ ed é ivi continua

perché composta di funzioni continue.

Essendo f(1/2) = ln 1/2 + 2 - 1 = 1 - ln 2 > 0

e f(1) = ln 1 + 1 - 2 = - 1 < 0

per il teorema degli zeri la funzione si annulla almeno una volta

in ]1/2, 1[