Dimostrare che se per una funzione f(x) - continua nell'intervallo [a,x] ( x qualsiasi, maggiore di a ) -
la media integrale sull'intervallo é uguale alla media aritmetica dei valori degli estremi qualunque sia
x nel dominio, allora il grafico di quella funzione é una retta.
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Livello 7
Problema:
Si dimostri che se per una funzione $f(x)$, continua in $[a,x]$ con $x>a$, la media integrale sull'intervallo è pari alla media aritmetica dei valori degli estremi, qualunque sia $x$ nel dominio, allora il grafico della funzione è una retta.
Soluzione:
Per il Teorema della Media Integrale in combinazione con il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale si ha che la media integrale della funzione sull'intervallo dato risulta essere $\frac{F(x)-F(a)}{x-a}$. Se si pone questa quantità pari alla media aritmetica dei valori degli estremi, si ottiene l'equazione:
$\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=\frac{x+a}{2} \rightarrow 2F(x)-2F(a)=x²-a² \rightarrow F(x)=\frac{x²-a²+2F(a)}{2}$
Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale è noto che $F'(x)=f(x)$, si ottiene dunque $f(x)=x$ dato che i valori riguardanti $a$ sono costanti.
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Livello 6
