[Risolto] MCD e mcm fra polinomi [Risolto in parte]

RIPASSI
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1) Costanti, monomi, binomi, ... sono tutti polinomi (composti di uno, due, molti monomi).
2) MCD(a, b) e mcm(a, b) indicano Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo di a e b.
Per definizione, mcm(a, b) = a*b/MCD(a, b): quindi basta vedere MCD(a, b).
Entrambe le operazioni sono commutative e associative da entrambi i lati, perciò si può scrivere (ed eseguire) indifferentemente mcm(36, 40, 77) = mcm(36, mcm(40, 77)) = mcm(mcm(36, 40), 77).
3) MCD(a, b) è definito solo se (a, b) sono elementi di un "anello euclideo" (p.es. numeri interi o polinomi) cioè di un insieme su cui abbia senso definire i concetti di "quoziente" e di "resto". Esamino gl'interi prima dei polinomi, e dò per scontato che tu conosca "quoziente" e "resto" fra interi.
4) Se un numero primo D è divisore di N > 0 lo è anche dell'opposto - N < 0; N = 0 ammette ogni divisore (ma non ha senso tentare di scomporlo).
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A) METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE PER CALCOLARE MCD(a, b) [algoritmo di Euclide]
A1) Sostituire a e b coi loro valori assoluti (levare eventuali segni meno).
A2) Porre DIVIDENDO = massimo fra a e b.
A3) Porre DIVISORE = minimo fra a e b.
A4) Se DIVISORE = 0, allora DIVIDENDO è il MCD cercato.
A5) Se DIVISORE > 0, allora
A5a) Calcolare R = resto della divisione DIVIDENDO : DIVISORE
A5b) Porre DIVIDENDO = DIVISORE
A5c) Porre DIVISORE = R
A5d) Proseguire dal punto A4.
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B) METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE PER CALCOLARE mcm(a, b)
B1) Sostituire a e b coi loro valori assoluti (levare eventuali segni meno).
B2) Dividere uno dei due (p.es. a) per il MCD(a, b) calcolato con l'algoritmo di Euclide.
B3) Moltiplicare l'altro (p.es. b) per il quoto ottenuto.
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5) Passare da interi a polinomi comporta minimi mutamenti formali agli algoritmi A e B, ma un sostanziale cambiamento di fondo: ridefinire "quoziente" e "resto".
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Fra interi:
data una coppia ordinata (N, D) con D != 0,
esiste ed è unica la coppia ordinata (Q, R) con 0 <= R < |D| tale che
N = Q * D + R [Numeratore, Quoziente, Denominatore, Resto].
R = 0 ==> (N multiplo di/divisibile per D) oppure (D divisore/fattore/sottomultiplo di N).
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Fra polinomi a coefficienti reali (g[p(x)] = grado di p(x)):
data una coppia ordinata (N(x), D(x)) con (D(x) != 0) & (g[N(x)] = n >= m = g[D(x)]),
esiste ed è unica la coppia ordinata (Q(x), R(x)) con (0 <= g[R(x)] < m) & (g[Q(x)] = k = n - m) tale che
N(x) = Q(x) * D(x) + R(x).
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Se R(x) = 0 allora (N divisibile per D) oppure (D divisore di N).
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6) Divisione fra polinomi
Il quoziente Q(x) si costruisce un monomio alla volta, iniziando da quello di grado massimo q(k)*x^k ottenuto dal rapporto n(n)*x^n/(d(m)*x^m) [per motivi dattilografici, l'indice dei coefficienti n, d, q degli omonimi polinomi è indicato fra ()].
Si costruisce R1(x) = N(x) - D(x) * q(k)*x^k che, per com'è ottenuto q(k)*x^k, manca del termine in x^n ed è di grado n1 < n.
6a) Se n1 < m, allora la divisione è terminata: R1(x) è il resto e q(k)*x^k il quoziente
N(x) = D(x) * q(k)*x^k + R(x).
6b) Se invece n1 >= m, allora la divisione prosegue con la costruzione di un secondo monomio di grado k1 < k e di un secondo resto parziale
R2(x) = N(x) - D(x) * (q(k)*x^k + q(k1)*x^k1) di grado n2 < n1.
6c) Incrementando l'indice del resto parziale (sostituendo R2(x) ad R1(x), per la prima volta), si reiterano controlli ed azioni 6a, 6b, 6c, fino a terminare nel passo 6a.
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ESERCIZIO
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* 4*x^5 - 16*x^3, x^2 + (a + 4)*x + 2 (a + 2), 3*x^2 - 3*x - 18
* MCD = x + 2
* mcm = 12*(x + a + 2)*(x + 2)*(x - 3)*(x^4 - 2*x^3) =
= 12*(x^4 + (a - 1)*x^3 - (3*a + 10)*x^2 - 4*(a - 1)*x + 12*(a + 2))*x^3