Matematica parabola

@angelicaago

Ciao e benvenuta. Forse io te lo so risolvere.... 😊 

I punti A e B sono: A(-3,0) e B(0,9)

Un punto sulla parabola y=9-x^2 ha coordinate P(α,9-α^2) con -3 < α < 0

AB=√(9^2 + (-3)^2) = 3·√10

L'area APB=3------> area APB=1/2*AB*h

h è la distanza di P da AB. Quindi:

3 = 1/2·3·√10·h----------> h = √10/5

La retta AB ha equazione: y=9 +3x (m=3 dalle coordinate di A e di )

equazione implicita AB: 3x-y+9=0

Distanza di P dalla retta AB:

h = ABS(3·α - (9 - α^2)·  + 9)/√(3^2 + (-1)^2) =ABS(α^2 + 3·α)/√10

Quindi: ABS(α^2 + 3·α)=2

Se la risovi ottieni: α = -3.561552812 ∨ α = 0.5615528128 ∨ α = -2 ∨ α = -1

Quindi due punti P possibili: P(-2,5) e P'(-1,8)

A = (-3; 9-(-3)^2) = (-3;0)

B = (0; 9 - 0^2) = (0; 9)

P = (x; 9 - x^2) con -3 < x < 0.

S_[APB] = 3 significa

1/2 | det ( [-3 0 1;0 9 1; x 9-x^2 1)] ) | = 3

| -3*(9 - 9 + x^2) + 0 + 1 *(0 - 9x) | = 6

| -3x^2 - 9x | = 6

3x^2 + 9x = +- 6

x^2 + 3x +- 2 = 0

Scegliendo il segno +

x^2 + 3x + 2 = 0

x^2 + 2x + x + 2 = 0

x(x + 2) + (x + 2) = 0

(x + 2) (x + 1) = 0

x = -2 V x = -1

entrambe accettabili, per cui

P1 = (-2; 9 - 4) = (-2;5)

P2 = (-1; 9 - 1) = (-1;8)

Scegliendo il segno - invece

x^2 + 3x - 2 = 0

x = (-3 +- sqrt(9 + 8))/2 = (-3 +- sqrt(17))/2

nessuna di queste ricade nell'intervallo ]-3; 0[

per cui non ci sono altri punti che soddisfino la richiesta.

Tre punti formano triangolo se non sono allineati.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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La parabola di equazione
* y = f(x) = 9 - x^2 = (3 + x)*(3 - x)
è il luogo di tutti e soli i punti cursore C(x, 9 - x^2) e, in paricolare, di quelli di ascissa data
* A(- 3, 9 - (- 3)^2) = (- 3, 0), B(0, 9 - 0^2) = (0, 9)
e di quelli
* P(k, 9 - k^2), con - 3 < k < 0, tali che S(ABP) = 3; cioè
* ((3/2)*|k*(k + 3)| = 3) & (- 3 < k < 0) ≡
≡ (k = - 2) oppure (k = - 1)
da cui
* P(- 2, 9 - (- 2)^2) = (- 2, 4), P'(- 1, 9 - (- 1)^2) = (- 1, 8)